Question

數(shù)列{a_n} 中a₁=，前n項(xiàng)和S_n滿足S_n+1-S_n=（n∈N^*）．
（ I ） 求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n以及前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅱ）記  （n∈N^*）求數(shù)列{b_n} 的前n項(xiàng)和T_n；
（Ⅲ）試確定T_n與（n∈N^*）的大小并證明．

Answer 1

【答案】分析：（I）由得（n∈N^*），由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n以及前n項(xiàng)和S_n．
（Ⅱ）由，知，再由錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{b_n} 的前n項(xiàng)和T_n．
（Ⅲ）由，知確定T_n與的大小關(guān)系等價(jià)于比較2ⁿ與2n+1的大小，經(jīng)分類討論知n=1，2時(shí)，n=3時(shí)．
解答：解：（I）得（n∈N^*）（1分）
又a₁=，故（n∈N^*）（2分）
從而（4分）
（Ⅱ）由（I），（5分）（6分）
兩式相減，得（7分）
==（8分）
所以（9分），
（Ⅲ）
于是確定T_n與的大小關(guān)系等價(jià)于比較2ⁿ與2n+1的大小（10分）
n=1時(shí)2＜2+1，n=2時(shí)2²＜2×2+1，n=3時(shí)2³＞2×3+1（11分）
令g（x）=2^x-2x-1，g′（x）=2^xln2-2，x＞2時(shí)g（x）為增函數(shù)，（12分）
所以n≥3時(shí)g（n）≥g（3）=1＞0，2ⁿ≥2n+1，（13分）
綜上所述n=1，2時(shí)n=3時(shí)（14分）
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的求法和數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相關(guān)法的合理運(yùn)用，恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．