已知橢圓C:(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別是F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),直線l:x=my+c與橢圓C交于兩點(diǎn)M,N且當(dāng)m=-時(shí),M是橢圓C的上頂點(diǎn),且△MF1F2的周長為6.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C的左頂點(diǎn)為A,直線AM,AN與直線:x=4分別相交于點(diǎn)P,Q,問當(dāng)m變化時(shí),以線段PQ為直徑的圓被x軸截得的弦長是否為定值?若是,求出這個(gè)定值,若不是,說明理由.
解:(1)當(dāng)時(shí),直線的傾斜角為,所以: 3分 解得:, 5分 所以橢圓方程是:; 6分 (1)當(dāng)時(shí),直線的方程為:,此時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)分別是, 又點(diǎn)坐標(biāo)是,由圖可以得到兩點(diǎn)坐標(biāo)分別是,以為直徑的圓過右焦點(diǎn),被軸截得的弦長為6,猜測當(dāng)變化時(shí),以為直徑的圓恒過焦點(diǎn),被軸截得的弦長為定值6, 8分 證明如下:設(shè)點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)分別是,則直線的方程是:, 所以點(diǎn)的坐標(biāo)是,同理,點(diǎn)的坐標(biāo)是, 9分 由方程組得到:, 所以:, 11分 從而: =0, 所以:以為直徑的圓一定過右焦點(diǎn),被軸截得的弦長為定值6. 13分 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年人教版高考數(shù)學(xué)文科二輪專題復(fù)習(xí)提分訓(xùn)練22練習(xí)卷(解析版) 題型:解答題
已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2,0),離心率為.直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N.
(1)求橢圓C的方程;
(2)當(dāng)△AMN的面積為時(shí),求k的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年人教版高考數(shù)學(xué)文科二輪專題復(fù)習(xí)提分訓(xùn)練22練習(xí)卷(解析版) 題型:選擇題
已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,C與過原點(diǎn)的直線相交于A,B兩點(diǎn),連接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,則C的離心率為( )
(A) (B) (C) (D)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年廣東省高三8月第一次月考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本題滿分14分)
已知橢圓C:(a>b>0)的離心率為,短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為3.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過橢圓C上的動點(diǎn)P引圓O:x2+y2=b2的兩條切線PA、PB,A、B分別為切點(diǎn),試探究橢圓C上是否存在點(diǎn)P,由點(diǎn)P向圓O所引的兩條切線互相垂直?若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011年遼寧省高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)文卷 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知橢圓C:(a>b>0)的離心率為短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的
距離為.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為,求△AOB面積的
最大值.
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