已知函數(shù)f(x)=,x∈[0,2].

(1)求f(x)的值域;

(2)設(shè)a≠0,函數(shù)g(x)=ax3-a2x,x∈[0,2].若對(duì)任意x1∈[0,2],總存在x2∈[0,2],使f(x1)-g(x2)=0.求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

(1)f(x)的值域是(2)實(shí)數(shù)a的取值范圍是


解析:

  (1)方法一  對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo),f′(x)=·.

令f′(x)=0,得x=1或x=-1.

當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f′(x)>0,f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增;

當(dāng)x∈(1,2)時(shí),f′(x)<0,f(x)在(1,2)上單調(diào)遞減.又f(0)=0,f(1)=,f(2)=,

∴當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)的值域是.

方法二  當(dāng)x=0時(shí),f(x)=0;

當(dāng)x∈(0,2]時(shí),f(x)>0且

f(x)=··=

當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=1時(shí),“=”成立.

∴當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)的值域是.

(2)設(shè)函數(shù)g(x)在[0,2]上的值域是A.

∵對(duì)任意x1∈[0,2],總存在x0∈[0,2],

使f(x1)-g(x0)=0,∴A.

對(duì)函數(shù)g(x)求導(dǎo),g′(x)=ax2-a2.

①當(dāng)x∈(0,2),a<0時(shí),g′(x)<0,

∴函數(shù)g(x)在(0,2)上單調(diào)遞減.

∵g(0)=0,g(2)=a-2a2<0,

∴當(dāng)x∈[0,2]時(shí),不滿足A;

②當(dāng)a>0時(shí),g′(x)=a(x-)(x+).

令g′(x)=0,得x=或x=-(舍去).

(ⅰ)當(dāng)x∈[0,2],0<<2時(shí),列表:

x

0

(0,

,2)

2

-

0

+

g(x)

0

-

∵g(0)=0,g()<0,

又∵A,∴g(2)=.

解得≤a≤1.

(ⅱ)當(dāng)x∈(0,2),≥2時(shí),g′(x)<0,

∴函數(shù)在(0,2)上單調(diào)遞減,

∵g(0)=0,g(2)=<0,

∴當(dāng)x∈[0,2]時(shí),不滿足A.

綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

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已知函數(shù)f(x)=
3x+5,(x≤0)
x+5,(0<x≤1)
-2x+8,(x>1)
,
求(1)f(
1
π
),f[f(-1)]
的值;
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(1-3a)x+10ax≤7
ax-7x>7.
是定義域上的遞減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(  )
A、(
1
3
,1)
B、(
1
3
,
1
2
]
C、(
1
3
,
6
11
]
D、[
6
11
,1

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|x-1|-a
1-x2
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x-1x+a
+ln(x+1)
,其中實(shí)數(shù)a≠1.
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