Question

已知函數(shù)f（x）=x²+（a+1）x+2?（a≠-1），若f（x）=g（x）+h（x），其中g(shù)（x）為奇函數(shù)，h（x）為偶函數(shù)．若函數(shù)g（x），f（x）在區(qū)間（-∞，?1]上均是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：首先根據(jù)題意推斷出h（x）和g（x），進(jìn)而根據(jù)g（x）的單調(diào)性推斷出a+1＜0求得a的范圍，進(jìn)而根據(jù)f（x）的單調(diào)性和二次函數(shù)的性質(zhì)求得a的范圍，最后綜合可得答案．

解答：解：顯然h（x）=x²+2 是偶函數(shù)，g（x）=（a+1）x 在a≠-1時(shí)是奇函數(shù)，而且f（x）=g（x）+h（x）．
要讓g（x）在區(qū)間（-∞，1]上是減函數(shù)，只要斜率（a+1）＜0，即a＜-1．要讓f（x）在區(qū)間（-∞，1]上是減函數(shù)，
只要-

1

2

（a+1）≥1  （這是因?yàn)閒（x）開(kāi)口朝上，對(duì)稱(chēng)軸 x=-

1

2

（a+1） 自然要在1的右邊才能使f（x）在（-∞，1]上是減函數(shù)），即a≤-3．綜上，a的取值范圍是a≤-3．
故答案為a≤-3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用．考查了對(duì)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性概念的理解和運(yùn)用．