Question

5．設(shè)函數(shù){a_n}為等差數(shù)列，且a₃=5，a₅=9，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，且S_n+b_n=2．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）若T_n=a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_n-1b₂+a_nb₁，求T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)列方程組解出首項和公差，得出{a_n}的通項公式，利用b_n=S_n-S_n-1得出{b_n}是等比數(shù)列；
（2）使用錯位相減法求和．

解答 解：（1）設(shè){a_n}的公差為d，
則$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=5}\\{{a}_{1}+4d=9}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=2}\end{array}\right.$．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∵S_n+b_n=2，∴S_n=2-b_n．
∴n=1時，2b₁=2，∴b₁=1．
當(dāng)n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=2-b_n-（2-b_n-1），
∴b_n=$\frac{1}{2}$b_n-1．
∴{b_n}是以1為首項，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列．
∴b_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
（2）T_n=1$•\frac{1}{{2}^{n-1}}$+3•$\frac{1}{{2}^{n-2}}$+5$•\frac{1}{{2}^{n-3}}$+…+（2n-3）$•\frac{1}{2}$+（2n-1）•1，①
∴$\frac{1}{2}$T_n=1•$\frac{1}{{2}^{n}}$+3•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+5$•\frac{1}{{2}^{n-2}}$+…+（2n-3）•$\frac{1}{{2}^{2}}$+（2n-1）$•\frac{1}{2}$，②
①-②得：$\frac{1}{2}{T}_{n}$=-2（$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{{2}^{n-2}}$+$\frac{1}{{2}^{n-3}}$+…+$\frac{1}{2}$）+2n-1-$\frac{1}{{2}^{n}}$
=-2•$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$+2n-1-$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{3}{{2}^{n}}$+2n-3．
∴T_n=$\frac{3}{{2}^{n-1}}$+4n-6．

點評 本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的性質(zhì)，錯位相減法數(shù)列求和，屬于中檔題．