Question

19．設L為曲線C：y=$\frac{lnx}{x}$在點（1，0）處的切線．
（1）求L的方程；
（2）證明：f（x）≤x-1在定義域內(nèi)恒成立．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，可得切線的斜率f′（1），利用點斜式即可得出．
（2）f（x）≤x-1在定義域（0，+∞）內(nèi)恒成立?$\frac{lnx}{x}$-x+1≤0，（x＞0）?lnx-x²+x≤0，（x＞0）．令g（x）=lnx-x²+x，利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可證明．

解答 （1）解：f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，f′（1）=$\frac{1-ln1}{1}$=1，f（1）=0，
∴曲線C：y=$\frac{lnx}{x}$在點（1，0）處的切線L的方程為：y-0=x-1，即x-y-1=0．
（2）證明：f（x）≤x-1在定義域（0，+∞）內(nèi)恒成立?$\frac{lnx}{x}$-x+1≤0，（x＞0）?lnx-x²+x≤0，（x＞0）．
令g（x）=lnx-x²+x，g′（x）=$\frac{1}{x}$-2x+1=$\frac{1-2{x}^{2}+x}{x}$=$\frac{-（2x+1）（x-1）}{x}$，（x＞0）．
可得x∈（0，1）時，g′（x）＞0，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；x∈（1，+∞）時，g′（x）＜0，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．
∴x=1時，函數(shù)g（x）取得極大值即最大值，g（1）=ln1-1+1=0，∴g（x）≤0在在定義域（0，+∞）內(nèi)恒成立，
即f（x）≤x-1在定義域內(nèi)恒成立．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、等價轉(zhuǎn)化方法、不等式的解法、導數(shù)的幾何意義及其應用，考查了分析問題與解決問題的能力、推理能力與計算能力，屬于難題．