Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)Pn(an，-

1

an+1

)（n∈N^*）在曲線f(x)=-

4+ 1 x2

上，且a₁=1，a_n＞0．
（1）求證：數(shù)列{

1

a 2 n

}是等差數(shù)列，并求a_n；
（2）數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，且滿足

Tn+1

a 2 n

=

Tn

a 2 n+1

+16n2-8n-3，設(shè)定b₁的值，使得數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（3）求證：Sn＞

1

2

4n+1

-1（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）、將點(diǎn)Pn(an，-

1

an+1

)（n∈N^*）代入f（x）的表達(dá)式中即可求出

1

a 2 n+1

-

1

a 2 n

為定值便證明了數(shù)列{

1

a 2 n

}是等差數(shù)列，將a₁=1，d=4代入即可求出an的表達(dá)式；
（2）將（1）中求得的a_n的通項(xiàng)公式代入（2）中的公式便可求出T_n的表達(dá)式，進(jìn)而求得bn的通項(xiàng)公式，根據(jù)b_n的通項(xiàng)公式即可證明b_n為等差數(shù)列；
（3）根據(jù)（1）中求得的a_n的通項(xiàng)公式先證明an≥

1

2

（

4n+1

-

4n-3

），即可證明數(shù)列a_n的前n項(xiàng)和Sn＞

1

2

4n+1

-1（n∈N^*）．

解答：解：（1）由于y=-

4+ 1 x2

，點(diǎn)P(an，-

1

an+1

)在曲線y=f(x)上，
∴-

1

an+1

=f(an)=-

4+ 1 a 2 n

，并且an＞0∴

1

an+1

=

4+ 1 a 2 n

∴

1

a 2 n+1

-

1

a 2 N

=4(n∈N*)
∴數(shù)列{

1

a 2 n

}是等差數(shù)列，首項(xiàng)

1

a 2 1

=1，公差d=4．
∴

1

a 2 n

=1+4（n-1）
a_n²=

1

4n-3

，∵a_n＞0
∴a_n=

1

4n-3

（n∈N^*）…（3分）

（2）an=

1

4n-3

，

Tn+1

a 2 n

=

Tn

a 2 n+1

+16n2-8n-3，
得(4n-3)Tn+1=(4n+1)Tn+(4n-3)(4n+1)∴

Tn+1

4n+1

=

Tn

4n-3

+1，
令Cn=

Tn

4n-3

，如果C1=1，此時(shí)b1=T1=1∴Cn=1+(n-1)×1=n，n∈N*
則T_n=（4n-3）n=4n²-3n，n∈N^*，
∴b_n=8n-7，n∈N^*
又∵b_n+1-b_n=8
∴此時(shí)數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列且b₁=1．…（6分）

（3）∵an=

1

4n-3

=

2

2 4n-3

＞

2

4n-3 + 4n+1

=

4n+1 - 4n-3

2

∴Sn=a1+a2+…+an＞ 1 2 [( 5 -1)+( 7 - 5 )+…+( 4n+1 - 4n-3 ] = 1 2 ( 4n+1 -1)n∈N*

…（10分）

點(diǎn)評：本題主要考查了數(shù)列的遞推公式以及等差數(shù)列與不等式的結(jié)合，考查了學(xué)生的計(jì)算能力和對數(shù)列的綜合掌握，解題時(shí)注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．