【題目】將圓周上的所有點進行三染色。證明:存在無窮多個等腰三角形,其頂點均為圓周上的同色點。
【答案】見解析
【解析】
先證明一個引理.
引理 對一個正十三邊形的頂點進行三染色,則必有一個三頂點同色的等腰三角形.
證明 反證法.
假設(shè)存在一種染色方法,使得在正十三邊形中不存在同色等腰三角形.
由抽屜原理,知至少有五個點同色.
下面考慮這五個點的分布情形.
1 若這五個點中任意兩點不相鄰,設(shè)這五個中相鄰兩點所間隔的邊數(shù)依次為a、b、c、d、e,則a+b+c+d+e=13,且a、b、c、d、e≥2.
故至少有兩個值為2,其余三個要么均為3 ,要么還存在第三個值為2,即a、b、c、d、e中存在三個數(shù)相等.這三條線段有六個端點,而同色點只有五個.因此,至少有兩條線段有公共頂點,則構(gòu)成了等腰三角形,與假設(shè)矛盾.
2 若這五個點中存在相鄰的點,不妨設(shè)為.據(jù)假設(shè),知不存在同色等腰三角形.從而,排除點.如圖.
若點也染了該色,則排除點,在剩下的點中任選兩個染色,均與假設(shè)矛盾.故點染了其他顏色.由對稱性,知點也染了其他顏色.
若點染了該色,則排除點,在剩下的點中任選兩個染色,均與假設(shè)矛盾.故點染了其他顏色.由對稱性,知點也染了其他顏色.
在剩下的點中任選三個染色,均與假設(shè)矛盾.
因此,假設(shè)不成立.
引理得證.
由于圓周上的點可以構(gòu)成無窮多個正十三邊形,據(jù)引理,知存在無窮多個同色等腰三角形.
又由于只有三種顏色,則存在無窮多個等腰三角形,其頂點均為圓周上的同色點.
證明 記△DEF的外接圓、△BHC的外接圓分別為.
因為B、F、H、D四點共圓,所以,PB·PH=PD·PF.
于是,點P在圓與的根軸上.
類似地,由C、E、H、D四點共圓,知點Q 在圓與的根軸上.
由于點S在圓與的根軸PQ上,故點S在圓上.
以H為反演中心,-HA·HD為反演冪作反演變換,則
.
由于M為EF與圓的交點,S為圓與的交點,從而,.
因此,M、H、S三點共線.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)專著,其中的“更相減損術(shù)”可以用來求兩個數(shù)的最大公約數(shù),原文是:可半者半之,不可半者,副置分母、子之?dāng)?shù),以少減多,更相減損,求其等也,以等數(shù)約之. 翻譯為現(xiàn)代的語言如下:如果需要對分數(shù)進行約分,那么可以折半的話,就折半(也就是用2來約分).如果不可以折半的話,那么就比較分母和分子的大小,用大數(shù)減去小數(shù),互相減來減去,一直到減數(shù)與差相等為止,用這個相等的數(shù)字來約分,現(xiàn)給出“更相減損術(shù)”的程序框圖如圖所示,如果輸入的,,則輸出的( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本題滿分12分)某工廠有25周歲以上(含25周歲)工人300名,25周歲以下工人200名.為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān).現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從中抽取了100名工人,先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù),然后按工人年齡在“25周歲以上(含25周歲)”和“25周歲以下”分為兩組,再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組:,,,,分別加以統(tǒng)計,得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機抽取2人,求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的頻率.
(Ⅱ)規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”,請你根據(jù)已知條件完成的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”?
附表:
P() | 0.100 | 0.010 | 0.001 |
k | 2.706 | 6.635 | 10.828 |
,(其中)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列說法:
①如果一條線段的中點在一個平面內(nèi),那么它的兩個端點也在這個平面內(nèi);
②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;
③兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形;
④若一個四邊形有三條邊在同一個平面內(nèi),則第四條邊也在這個平面內(nèi);
⑤點在平面外,點和平面內(nèi)的任意一條直線都不共面.
其中所有正確說法的序號是______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)作為藍色海洋教育特色學(xué)校,隨機抽取100名學(xué)生,進行一次海洋知識測試,按測試成績(假設(shè)考試成績均在[65,90)內(nèi))分組如下:第一組[65,70),第二組 [70,75),第三組[75,80),第四組 [80,85),第五組 [85,90).得到頻率分布直方圖如圖C34.
(1)求測試成績在[80,85)內(nèi)的頻率;
(2)從第三、四、五組學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生組成海洋知識宣講小組,定期在校內(nèi)進行義務(wù)宣講,并在這6名學(xué)生中隨機選取2名參加市組織的藍色海洋教育義務(wù)宣講隊,求第四組至少有1名學(xué)生被抽中的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將下列問題的解答過程補充完整.
依次計算數(shù)列,,,,…的前四項的值,由此猜測的有限項的表達式,并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.
解:計算 ,
,
① ,
② ,
由此猜想 ③ .(*)
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這一猜想.
(i)當(dāng)時,左邊,右邊,所以等式成立.
(ⅱ)假設(shè)當(dāng)時,等式成立,即
④ .
那么,當(dāng)時,
⑤
⑥
⑦ .
等式也成立.
根據(jù)(i)和(ⅱ)可以斷定,(*)式對任何都成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某高校數(shù)學(xué)學(xué)院為了對2018年錄取的大一新生有針對性地進行教學(xué).從大一新生中隨機抽取40名,對他們在2018年高考的數(shù)學(xué)成績進行調(diào)查,統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)40名新生的數(shù)學(xué)分數(shù)分布在內(nèi).當(dāng)時,其頻率.
(1)求的值;
(2)請在答題卡中畫出這40名新生高考數(shù)學(xué)分數(shù)的頻率分布直方圖,并估計這40名新生的高考數(shù)學(xué)分數(shù)的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表).
(3)若高考數(shù)學(xué)分數(shù)不低于120分的為優(yōu)秀,低于120分的為不優(yōu)秀,則按高考成績優(yōu)秀與否從這40名新生中用分層抽樣的方法抽取4名學(xué)生,再從這4名學(xué)生中隨機抽取2名,求這2名學(xué)生的高考成績均為優(yōu)秀的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場為了了解顧客的購物信息,隨機在商場收集了位顧客購物的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表:
一次購物款(單位:元) | |||||
顧客人數(shù) |
統(tǒng)計結(jié)果顯示位顧客中購物款不低于元的顧客占,該商場每日大約有名顧客,為了增加商場銷售額度,對一次購物不低于元的顧客發(fā)放紀(jì)念品.
(Ⅰ)試確定, 的值,并估計每日應(yīng)準(zhǔn)備紀(jì)念品的數(shù)量;
(Ⅱ)現(xiàn)有人前去該商場購物,求獲得紀(jì)念品的數(shù)量的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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