Question

已知x，y滿足2x-8y-5=0，求函數(shù)f(x)=

(x+2)2+(y-1)2

+

(x-5)2+(y-5)2

的最小值．

Answer 1

分析：由題意可得，本題即求直線2x-8y-5=0上的點P（x，y）到A（-2，1）和點B（5，5）的距離之和 AP+PB．利用垂直、和中點在對稱軸上這兩個條件，求出設(shè)A（-2，1）關(guān)于直線2x-8y-5=0的對稱點A'的坐標(biāo)，則線段A^′ B 的長度為所求．

解答：解：函數(shù)f(x)=

(x+2)2+(y-1)2

+

(x-5)2+(y-5)2

表示直線2x-8y-5=0上的點P（x，y）
到A（-2，1）和點B（5，5）的距離之和 AP+PB．
設(shè)A（-2，1）關(guān)于直線2x-8y-5=0的對稱點A'（m，n），
過A（-2，1）且垂直于直線2x-8y-5=0的直線方程是8x+2y+14=0，
由

2x-8y-5=0 8x+2y+14=0

 可得

x=- 3 2 y=-1

，∴A'（-1，-3），
連接A'B交直線l于點P，則AP+PB=A'P+PB=A'B=10，
故函數(shù)f(x)=

(x+2)2+(y-1)2

+

(x-5)2+(y-5)2

的最小值為10．

點評：本題主要考查求一個點關(guān)于某直線的對稱點的坐標(biāo)的方法，兩點間的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．