Question

曲線y=2lnx上的點到直線x-y+1=0的最短距離是

2

2

(3-2ln2)

．

Answer 1

分析：設直線x-y+C=0是曲線y=2lnx的切線且與直線x-y+1=0平行，利用導數的幾何意義求出切點坐標為P（2，2ln2）
，再由點到直線的距離公式，即可算出曲線y=2lnx上的點到直線x-y+1=0的最短距離．

解答：解：設直線x-y+C=0與直線x-y+1=0平行，
且與曲線y=2lnx相切，切點為P（m，2lnm）
∴y'

|

x=m

=1，即

2

m

=1，可得m=2，切點為P（2，2ln2）
求得P到直線x-y+1=0的距離d=

|2-2ln2+1|

2

=

2

2

(3-2ln2)
即曲線y=2lnx上的點到直線x-y+1=0的最短距離是

2

2

(3-2ln2)
故答案為：

2

2

(3-2ln2)

點評：本題求曲線上動點到直線的最短距離，著重考查了點到直線的距離公式和導數的幾何意義等知識，屬于基礎題．