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8.某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家生產(chǎn)一種產(chǎn)品,每生產(chǎn)這種產(chǎn)品x(百臺),其總成本為G(x)(萬元),其中固定成本為42萬元,且每生產(chǎn)1百臺的生產(chǎn)成本為15萬元(總成本=固定成本+生產(chǎn)成本).銷售收入R(x)(萬元)滿足Rx={6x2+63x0x5165x5假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡(即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉),根據(jù)上述規(guī)律,完成下列問題:
(1)寫出利潤函數(shù)y=f(x)的解析式(利潤=銷售收入-總成本);
(2)要使工廠有盈利,求產(chǎn)量x的范圍;
(3)工廠生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時,可使盈利最大?

分析 (1)根據(jù)利潤=銷售收入-總成本,且總成本為42+15x即可求得利潤函數(shù)y=f(x)的解析式. 
(2)使分段函數(shù)y=f(x)中各段均大于0,再將兩結(jié)果取并集. 
(3)分段函數(shù)y=f(x)中各段均求其值域求最大值,其中最大的一個即為所求.

解答 解:(1)由題意得G(x)=42+15x.
∴f(x)=R(x)-G(x)={6x2+48x420x512315xx5
(2)①當0≤x≤5時,由-6x2+48x-42>0得:x2-8x+7<0,解得1<x<7.
所以:1<x≤5.
②當x>5時,由123-15x>0解得x<8.2.所以:5<x<8.2.
綜上得當1<x<8.2時有y>0.
所以當產(chǎn)量大于100臺,小于820臺時,能使工廠有盈利.
(3)當x>5時,∵函數(shù)f(x)遞減,
∴f(x)<f(5)=48(萬元).
當0≤x≤5時,函數(shù)f(x)=-6(x-4)2+54,
當x=4時,f(x)有最大值為54(萬元).
所以,當工廠生產(chǎn)400臺時,可使贏利最大為54萬元.

點評 本題主要考查函數(shù)的應用問題,根據(jù)條件建立分段函數(shù)模型,進行求解是解決本題的關鍵.

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