Question

8．某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每生產(chǎn)這種產(chǎn)品x（百臺），其總成本為G（x）（萬元），其中固定成本為42萬元，且每生產(chǎn)1百臺的生產(chǎn)成本為15萬元（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本）．銷售收入R（x）（萬元）滿足$R（x）=\left\{\begin{array}{l}-6{x^2}+63x，0≤x≤5\\ 165，x＞5\end{array}\right.$假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡（即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉），根據(jù)上述規(guī)律，完成下列問題：
（1）寫出利潤函數(shù)y=f（x）的解析式（利潤=銷售收入-總成本）；
（2）要使工廠有盈利，求產(chǎn)量x的范圍；
（3）工廠生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時，可使盈利最大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)利潤=銷售收入-總成本，且總成本為42+15x即可求得利潤函數(shù)y=f（x）的解析式． 
（2）使分段函數(shù)y=f（x）中各段均大于0，再將兩結(jié)果取并集． 
（3）分段函數(shù)y=f（x）中各段均求其值域求最大值，其中最大的一個即為所求．

解答 解：（1）由題意得G（x）=42+15x．
∴f（x）=R（x）-G（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{-6{x^2}+48x-42，0≤x≤5}\\{123-15x，x＞5}\end{array}}\right.$．
（2）①當0≤x≤5時，由-6x²+48x-42＞0得：x²-8x+7＜0，解得1＜x＜7．
所以：1＜x≤5．
②當x＞5時，由123-15x＞0解得x＜8.2．所以：5＜x＜8.2．
綜上得當1＜x＜8.2時有y＞0．
所以當產(chǎn)量大于100臺，小于820臺時，能使工廠有盈利．
（3）當x＞5時，∵函數(shù)f（x）遞減，
∴f（x）＜f（5）=48（萬元）．
當0≤x≤5時，函數(shù)f（x）=-6（x-4）²+54，
當x=4時，f（x）有最大值為54（萬元）．
所以，當工廠生產(chǎn)400臺時，可使贏利最大為54萬元．

點評 本題主要考查函數(shù)的應用問題，根據(jù)條件建立分段函數(shù)模型，進行求解是解決本題的關鍵．