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3.各項為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足:Sn=14an2+12an+14(n∈N*
(Ⅰ)求an
(Ⅱ)設數(shù)列{1a2n}的前n項和為Tn,證明:對一切正整數(shù)n,都有Tn54

分析 (I)分別把n=1和n=n-1代入條件式計算a1和遞推公式,得出{an}為等差數(shù)列,從而得出通項公式;
(2)1an2=12n1214nn1,再使用列項求和得出結論.

解答 解:(Ⅰ)∵Sn=14an2+12an+14
當n=1時,a1=S1=14a12+12a1+14,解得a1=1.
當n≥2時,Sn1=14an12+12an1+14;
∴an=Sn-Sn-1=14an2+12an-14an-12-12an-1
整理得:(an+an-1)(an-an-1-2)=0,
又∵數(shù)列{an}各項為正數(shù),∴當n≥2時,an-an-1=2,
故數(shù)列{an}為首項為1,公差為2的等差數(shù)列.
∴an=1+2(n-1)=2n-1.
(Ⅱ)證明:可知Tn=1a21+1a22+1a23++1a2n1+1a2n=112+132+152++12n32+12n12
12n12=14n24n+114n24n=14nn1=141n11n,
Tn=112+132+152++12n32+12n121+141112+141213++141n21n1+141n11n
=1+141112+1213++1n21n1+1n11n
=1+14-14n54

點評 本題考查了數(shù)列的通項公式求解及數(shù)列求和,屬于中檔題.

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