分析 (I)分別把n=1和n=n-1代入條件式計算a1和遞推公式,得出{an}為等差數(shù)列,從而得出通項公式;
(2)1an2=1(2n−1)2<14n(n−1),再使用列項求和得出結論.
解答 解:(Ⅰ)∵Sn=14an2+12an+14,
當n=1時,a1=S1=14a12+12a1+14,解得a1=1.
當n≥2時,Sn−1=14an−12+12an−1+14;
∴an=Sn-Sn-1=14an2+12an-14an-12-12an-1.
整理得:(an+an-1)(an-an-1-2)=0,
又∵數(shù)列{an}各項為正數(shù),∴當n≥2時,an-an-1=2,
故數(shù)列{an}為首項為1,公差為2的等差數(shù)列.
∴an=1+2(n-1)=2n-1.
(Ⅱ)證明:可知Tn=1a21+1a22+1a23+…+1a2n−1+1a2n=112+132+152+…+1(2n−3)2+1(2n−1)2
∵1(2n−1)2=14n2−4n+1<14n2−4n=14n(n−1)=14(1n−1−1n),
∴Tn=112+132+152+…+1(2n−3)2+1(2n−1)2<1+14(11−12)+14(12−13)+…+14(1n−2−1n−1)+14(1n−1−1n)
=1+14(11−12+12−13+…+1n−2−1n−1+1n−1−1n)
=1+14-14n<54.
點評 本題考查了數(shù)列的通項公式求解及數(shù)列求和,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 離散型隨機變量X~B(4,0.1),則D(X)=0.4 | |
B. | 將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都減去同一個數(shù)后,平均值與方差均沒有變化 | |
C. | 采用系統(tǒng)抽樣法從某班按學號抽取5名同學參加活動,學號為5,16,27,38,49的同學均被選出,則該班學生人數(shù)可能為60 | |
D. | 某糖果廠用自動打包機打包,每包的重量X(kg)服從正態(tài)分布N(100,1.44),從該糖廠進貨10000包,則重量少于96.4kg一般不超過15包 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | f(-1)<f(2)<f(4) | B. | f(2)<f(-1)<f(4) | C. | f(2)<f(4)<f(-1) | D. | f(4)<f(2)<f(-1) |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 1 | B. | √22 | C. | √2 | D. | 12 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | (-∞,-1)∪(3,+∞) | B. | [-1,3] | C. | (-∞,-1]∪[3,+∞) | D. | (-1,3) |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | x2 | B. | (2x-5) | C. | 5 | D. | -1 |
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