Question

如圖，A，B兩點的坐標分別為（-2，0），（2，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是．
（1）求點M的軌跡C的方程；
（ 2）是否存在斜率為l直線l與曲線C交于P，Q兩點，且使△OPQ的面積等于？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)M（x，y），則由條件可得
整理可得；
（2）假設(shè)存在滿足條件的直線l，其方程為y=x+m，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
直線方程代入橢圓方程，消去y可得7x²+8mx+4m²-12=0
∴x₁+x₂=-，
由△=64m²-28（4m²-12）＞0可得m²＜7
∴|PQ|==
∵圓的O到直線l的距離d=
∴=
∴m=或m=±2，滿足m²＜7
∴存在滿足條件的直線l，其方程為y=x或y=x±2．
分析：（1）設(shè)出M的坐標，利用直線AM，BM的斜率之積是，建立方程，即可得到點M的軌跡C的方程；
（2）設(shè)出直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理及△OPQ的面積等于，建立方程，即可求得結(jié)論．
點評：本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．