Question

設(shè)M₁（0，0），M₂（1，0），以M₁為圓心，|M₁ M₂|為半徑作圓交x軸于點(diǎn)M₃（不同于M₂），記作⊙M₁；以M₂為圓心，|M₂ M₃|為半徑作圓交x軸于點(diǎn)M₄（不同于M₃），記作⊙M₂；…；
以M_n為圓心，|M_n M_n+1|為半徑作圓交x軸于點(diǎn)M_n+2（不同于M_n+1），記作⊙M_n；…
當(dāng)n∈N*時(shí)，過原點(diǎn)作傾斜角為30°的直線與⊙M_n交于A_n，B_n．考察下列論斷：
當(dāng)n=1時(shí)，|A₁B₁|=2；
當(dāng)n=2時(shí)，|A₂B₂|=

15

；
當(dāng)n=3時(shí)，|A₃B₃|=

35×42+23-1

3

；
當(dāng)n=4時(shí)，|A₄B₄|=

35×43-24-1

3

；
…
由以上論斷推測(cè)一個(gè)一般的結(jié)論：對(duì)于n∈N*，|A_nB_n|=

 

．

Answer 1

分析：由已知中當(dāng)n∈N*時(shí)，過原點(diǎn)作傾斜角為30°的直線與⊙M_n交于A_n，B_n的相關(guān)論斷：當(dāng)n=1時(shí)，|A₁B₁|=2；當(dāng)n=2時(shí)，|A₂B₂|=

15

；當(dāng)n=3時(shí)，|A₃B₃|=

35×42+23-1

3

；當(dāng)n=4時(shí)，|A₄B₄|=

35×43-24-1

3

；…分析表達(dá)式中4的指數(shù)，第二項(xiàng)的系數(shù)，及2的指數(shù)的變化趨勢(shì)，即可得到答案．

解答：解：由已知中，
當(dāng)n=1時(shí)，|A₁B₁|=2=

35×40-(-1)121-1

3

；
當(dāng)n=2時(shí)，|A₂B₂|=

15

=

35×41-(-1)222-1

3

；
當(dāng)n=3時(shí)，|A₃B₃|=

35×42+23-1

3

=

35×42-(-1)323-1

3

；
當(dāng)n=4時(shí)，|A₄B₄|=

35×43-24-1

3

=

35×43-(-1)424-1

3

；
…
∴對(duì)于n∈N*，|A_nB_n|=

35×4n-1-(-1)n2n-1

3

故答案為：

35×4n-1-(-1)n2n-1

3

點(diǎn)評(píng)：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．