Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）當a=1時，函數(shù)y=f（x）有幾個極值點？
（Ⅱ）是否存在實數(shù)a，使函數(shù)有兩個極值？若存在，求實數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）當a=1時，函數(shù)f（x）=，其定義域為（0，+∞）．
f^′（x）=lnx+1-x．
令g（x）=f^′（x）=lnx+1-x，則，
令g^′（x）=0，解得x=1．
當0＜x＜1時，g^′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調遞增；當1＜x時，g^′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調遞減．
∴當x=1時，函數(shù)g（x）取得極大值，也即最大值，∴g（x）≤g（1）=0，即f^′（x）≤0．
雖然f^′（1）=0，但是在x=1的兩側都有f^′（x）＜0，故x=1不是函數(shù)f（x）的極值點．
因此函數(shù)f（x）沒有極值點．
（Ⅱ）f^′（x）=lnx+1-ax，
函數(shù)f（x）有兩個極值?f^′（x）=0在（0，∞）上有兩個不等實數(shù)根，且每一個根兩側導數(shù)異號
?直線x=a與函數(shù)h（x）=由兩個交點．
∵，
∴當x∈（0，1）時，h^′（x）＞0，函數(shù)h（x）單調遞增；
當x∈（1，+∞）時，h^′（x）＜0，函數(shù)h（x）單調遞減．
∴當x=1時，函數(shù)h（x）取得極大值，也是最大值，畫出圖象如下：
由圖象可知：實數(shù)a的取值范圍是（0，1）．
分析：（Ⅰ）利用導數(shù)結合極值的定義即可判斷出結論；
（Ⅱ）把問題等價轉化，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，即可得出結論．
點評：正確把問題等價轉化，熟練掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值等性質是解題的關鍵．