【題目】如圖,在P地正西方向8km的A處和正東方向1km的B處各有一條正北方向的公路AC和BD,現(xiàn)計(jì)劃在AC和BD路邊各修建一個(gè)物流中心E和F,為緩解交通壓力,決定修建兩條互相垂直的公路PE和PF,設(shè)∠EPA=α(0<α< ).
(1)為減少對(duì)周邊區(qū)域的影響,試確定E,F(xiàn)的位置,使△PAE與△PFB的面積之和最。
(2)為節(jié)省建設(shè)成本,試確定E,F(xiàn)的位置,使PE+PF的值最。
【答案】
(1)在Rt△PAE中,由題意可知∠APE=α,AP=8,則AE=8tanα.
所以S△APE= PA×AE=32tanα.
同理在Rt△PBF中,∠PFB=α,PB=1,則BF=
所以S△PBF= PB×BF= .
故△PAE與△PFB的面積之和為32tanα+
32tanα+ ≥2 =8
當(dāng)且僅當(dāng)32tanα= ,即tanα= 時(shí)取等號(hào),
故當(dāng)AE=1km,BF=8km時(shí),△PAE與△PFB的面積之和最小
(2)在Rt△PAE中,由題意可知∠APE=α,則PE=
同理在Rt△PBF中,∠PFB=α,則PF=
令f(α)=PE+PF= + ,0<α<
則f′(α)= =
f′(α)=0得tanα=
所以tanα= ,f(α)取得最小值,
此時(shí)AE=APtanα=8× =4,BF=
當(dāng)AE為4km,且BF為2km時(shí),PE+PF的值最小
【解析】(1)借助三角函數(shù)求出△PAE與△PFB的面積,利用基本不等式性質(zhì),求出E,F(xiàn)的位置;(2)借助三角函數(shù)求出PE+PF,利用導(dǎo)數(shù)求出當(dāng)AE為4km,且BF為2km時(shí),PE+PF的值最。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)a≠b,解關(guān)于x的不等式a2x+b2(1-x)≥[ax+b(1-x)]2.
【答案】{x|0≤x≤1}.
【解析】
將原不等式化簡(jiǎn)為(a-b)2(x2-x) ≤0,由條件得到系數(shù)(a-b)2>0,直接解出不等式x2-x≤0即可.
解:將原不等式化為
(a2-b2)x+b2≥(a-b)2x2+2(a-b)bx+b2,
移項(xiàng),整理后得 (a-b)2(x2-x) ≤0,…
∵ a≠b 即 (a-b)2>0,
∴ x2-x≤0,
即 x(x-1) ≤0.
解此不等式,得解集 {x|0≤x≤1}.
【點(diǎn)睛】
本小題主要考查不等式基本知識(shí),不等式的解法;解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用.對(duì)于含參的二次不等式問題,先判斷二次項(xiàng)系數(shù)是否含參,接著討論參數(shù)等于0,不等于0,再看式子能否因式分解,若能夠因式分解則進(jìn)行分解,再比較兩根大小,結(jié)合圖像得到不等式的解集.
【題型】解答題
【結(jié)束】
19
【題目】設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知與的等比中項(xiàng)為,且與的等差中項(xiàng)為1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,斜率為k的直線l與拋物線C交于M,N兩點(diǎn),若線段MN的垂直平分線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a(a>0),n=|MF|+|NF|,則2a﹣n等于( )
A.2
B.3
C.4
D.5
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)為彼此不重合的三個(gè)平面,為直線,給出下列結(jié)論:
①若 ,則 ②若,且 則
③若直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直,則
④若內(nèi)存在不共線的三點(diǎn)到的距離相等,則
上面結(jié)論中,正確的序號(hào)為_______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】省環(huán)保廳對(duì)、、三個(gè)城市同時(shí)進(jìn)行了多天的空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè),測(cè)得三個(gè)城市空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的數(shù)據(jù)共有180個(gè),三城市各自空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)如下表所示:
城 | 城 | 城 | |
優(yōu)(個(gè)) | 28 | ||
良(個(gè)) | 32 | 30 |
已知在這180個(gè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個(gè),恰好抽到記錄城市空氣質(zhì)量為優(yōu)的數(shù)據(jù)的概率為0.2.
(1)現(xiàn)按城市用分層抽樣的方法,從上述180個(gè)數(shù)據(jù)中抽取30個(gè)進(jìn)行后續(xù)分析,求在城中應(yīng)抽取的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù);
(2)已知, ,求在城中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)大于空氣質(zhì)量為良的天數(shù)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在極坐標(biāo)系中,極點(diǎn)為O,點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(2, ),以O(shè)A為斜邊作等腰直角三角形OAB(其中O,A,B按逆時(shí)針方向分布)
(1)求點(diǎn)B的極坐標(biāo);
(2)求三角形外接圓的極坐標(biāo)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若定義在R上的函數(shù)對(duì)任意的、,都有成立,且當(dāng)時(shí),.
(1)求證:是R上的增函數(shù);
(2)若,解不等式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知向量 =(2a,1), =(2b﹣c,cosC),且 ∥ .
(Ⅰ)求角A的大;
(Ⅱ)若 ,求b+c的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某地有三家工廠,分別位于矩形ABCD的頂點(diǎn)A,B以及CD的中點(diǎn)P處,已知AB=20km,CB=10km,為了處理三家工廠的污水,現(xiàn)要在矩形ABCD內(nèi)(含邊界),且與A,B等距離的一點(diǎn)O處建造一個(gè)污水處理廠,并鋪設(shè)排污管道AO,BO,OP,設(shè)排污管道的總長(zhǎng)為km.
(I)設(shè),將表示成的函數(shù)關(guān)系式;
(II)確定污水處理廠的位置,使三條排污管道的總長(zhǎng)度最短,并求出最短值.
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