Question

1．已知函數(shù)f（x）=x²-4lnx，g（x）=-2x²+12x．
（1）求f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（3）若函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間（a，a+1）上均為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率和切點，由點斜式方程即可得到切線方程；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極值即可；
（3）分別求出f（x）、g（x）的單調(diào)區(qū)間，求得增區(qū)間，再由題意可得它與區(qū)間（a，a+1）的包含關(guān)系，得到不等式，解得即可判斷．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-4lnx，（x＞0），f′（x）=2x-$\frac{4}{x}$，
∴f（1）=1，f′（1）=2-4=-2，故切點為（1，1），斜率是-2，
則切線方程為：y-1=-2（x-1），即為y=3-2x；
（2）函數(shù)f（x）=x²-4lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x-$\frac{4}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-4}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{2}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\sqrt{2}$，
∴f（x）在（0，$\sqrt{2}$）遞減，在（$\sqrt{2}$，+∞）遞增，
∴f（x）_極小值=f（$\sqrt{2}$）=2-2ln2；
（3）由（2）得f′（x）=2x-$\frac{4}{x}$
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，a+1）上為增函數(shù)，
∴2x-$\frac{4}{x}$≥0區(qū)間（a，a+1）上恒成立，
而不等式2x-$\frac{4}{x}$≥0即 $\frac{（x+\sqrt{2}）（x-\sqrt{2}）}{x}$≥0，
解得，x≥$\sqrt{2}$，
∴a的取值范圍是：a≥$\sqrt{2}$①，
g（x）=-2x²+12x的對稱軸x=3，
故g（x）在（-∞，3]遞增，故a≤3②，
由①②得：$\sqrt{2}$≤a≤3．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查函數(shù)的單調(diào)性的運用，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．