設(shè)函數(shù)數(shù)學(xué)公式，在其圖象上一點(diǎn)P（x，y）處的切線的斜率記為f（x）．
（1）若方程f（x）=0有兩個(gè)實(shí)根分別為-2和4，求f（x）的表達(dá)式；
（2）若g（x）在區(qū)間[-1，3]上是單調(diào)遞減函數(shù)，求a2+b2的最小值．

解：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知f（x）=g'（x）=x2+ax-b
由已知-2、4是方程x2+ax-b=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)
由韋達(dá)定理，∴，f（x）=x2-2x-8（7分）
（2）g（x）在區(qū)間[-1，3]上是單調(diào)減函數(shù)，
所以在[-1，3]區(qū)間上恒有f（x）=g'（x）=x2+ax-b≤0，即f（x）=x2+ax-b≤0在[-1，3]恒成立
這只需滿足即可，也即
而a2+b2可視為平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，其中點(diǎn)（-2，3）距離原點(diǎn)最近，
所以當(dāng)時(shí)，a2+b2有最小值13．（14分）
分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出f（x）=g'（x），再根據(jù)-2、4是方程f（x）=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)，由韋達(dá)定理建立方程組，解之即可；
（2）根據(jù)g（x）在區(qū)間[-1，3]上是單調(diào)減函數(shù)，得到函數(shù)g（x）在區(qū)間[-1，3]上恒有f（x）=g'（x）≤0，然后建立關(guān)于a和b的約束條件，而a2+b2可視為平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，其中點(diǎn)（-2，3）距離原點(diǎn)最近，從而求出a2+b2的最小值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及線性規(guī)劃的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問題的綜合能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•聊城一模）已知函數(shù)f(x)=sin(2ωx-
π
6
)-4sin2ωx+a，(ω＞0)，其圖象的相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)之間的距離為π，
（1） 求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2） 設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，
π
2
]上的最小值為-
3
2
，求函數(shù)f（x），（x∈R）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•棗莊一模）已知函數(shù)f（x）=
1
2
x2-2x，g(x)=logax（a＞0，且a≠1），其中a為常數(shù)，如果h（x）=f（x）+g（x）在其定義域上是增函數(shù)，且h'（x）存在零點(diǎn)（h'（x）為h（x）的導(dǎo)函數(shù)）．
（I）求a的值；
（Ⅱ）設(shè)A（m，g（m）），B（n，g（n））（m＜n）是函數(shù)y=g（x）的圖象上兩點(diǎn)，g'（x0）=
g(n)-g(m)
n-m
（g'（x）為g（x）的導(dǎo)函數(shù)），證明：m＜x0＜n．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•眉山一模）設(shè)函數(shù)f（x）對(duì)其定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x1與x2都有f(
x1+x2
2
)≥
f(x1)+f(x2)
2
，則稱函數(shù)f（x）為上凸函數(shù)． 若函數(shù)f（x）為上凸函數(shù)，則對(duì)定義域內(nèi)任意x1、x2、x3，…，xn都有f(
x1+x2+…+xn
n
)≥
f(x1)+f(x2)+…+f(xn)
n
（當(dāng)x1=x2=x3=…=xn時(shí)等號(hào)成立），稱此不等式為琴生不等式，現(xiàn)有下列命題：
①f（x）=lnx（x＞0）是上凸函數(shù)；
②二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）是上凸函數(shù)的充要條件是a＞0；
③f（x）是上凸函數(shù)，若A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是f（x）圖象上任意兩點(diǎn)，點(diǎn)C在線段AB上，且
AC
=λ
CB
，則f(
x1+λx2
1+λ
)≥
f(x1)+λf(x2)
1+λ
；
④設(shè)A，B，C是一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角，則sinA+sinB+sinC的最大值是
3
3
2
．
其中，正確命題的序號(hào)是
①③④
①③④
（寫出所有你認(rèn)為正確命題的序號(hào)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)g(x)= (a，b∈R)，在其圖象上一點(diǎn)P(x,y)處的切線的斜率記為f(x)．

   （1）若方程f(x)=0有兩個(gè)實(shí)根分別為一2和4，求f(x)的表達(dá)式；

   （2）若g(x)在區(qū)間[一1，3]上是單調(diào)遞減函數(shù)，求a2+b2的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，若存在x0∈D，使得y0=f(x0)=x0，則稱以(x0,y0)為坐標(biāo)的點(diǎn)為函數(shù)圖象上的不動(dòng)點(diǎn).

(1)若函數(shù)f(x)=的圖象上有兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的不動(dòng)點(diǎn)，求a、b滿足的條件;

(2)在(1)的條件下，若a=8，記函數(shù)f(x)圖象上的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)分別為A、A′，P為函數(shù)f(x)的圖象上的另一點(diǎn)，且其縱坐標(biāo)yP＞3，求點(diǎn)P到直線AA′距離的最小值及取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

(3)命題“若定義在R上的奇函數(shù)f(x)的圖象上存在有限個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則不動(dòng)點(diǎn)有奇數(shù)個(gè)”是否正確？若正確，試給予證明，并舉出一例；若不正確，試舉一反例說明.

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