Question

設(shè)A={1，2，3，4，5，6}，則滿足條件f（f（x））=f（x）的映射f：A→A的個(gè)數(shù)為

1. A.
   6⁶
2. B.
   720
3. C.
   960
4. D.
   1057

Answer 1

D
分析：由f[f（x）]=f（x）可知集合A={1，2，3，4，5，6}的像f（A）（即所有f（x）構(gòu)成的集合）在映射f下保持不變，即對(duì)于任意x∈f（A）總有f（x）=x，則問題轉(zhuǎn)化為對(duì)f（A）的討論，根據(jù)組合數(shù)直接寫出各種情況的映射的個(gè)數(shù)，最后求和即可．
解答：由f[f（x）]=f（x）可知集合A={1，2，3，4，5，6}的像f（A）（即所有f（x）構(gòu)成的集合）在映射f下保持不變，即對(duì)于任意x∈f（A）總有f（x）=x，則問題轉(zhuǎn)化為對(duì)f（A）的討論：
（1）f（A）中有6個(gè)元素時(shí)，只能為f（1）=1，f（2）=2，f（3）=3，f（4）=4，f（5）=5，f（6）=6．共1種．
（2）f（A）中有5個(gè)元素時(shí)，比如f（A）={1，2，3，4，5}，只能為f（1）=1，f（2）=2，f（3）=3，f（4）=4，f（5）=5，f（6）=1，2，3，4，5，共×5=30種．
（3）f（A）中有4個(gè)元素時(shí)，比如f（A）={1，2，3，4}，只能為f（1）=1，f（2）=2，f（3）=3，f（4）=4，f（5）=1，2，3，4，f（6）=1，2，3，4，共×4²=240種．
（4）f（A）中有3個(gè)元素時(shí)，同理×3³=540種．
（5）f（A）中有2個(gè)元素時(shí)，同理×2⁴=240種．
（6）f（A）中有1個(gè)元素時(shí)，同理×1=6種．
共1057種．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了映射、排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題知識(shí)，由于形式比較我，所以可分類討論就能做出答案．