Question

如圖，半徑為1圓心角為

3π

2

圓弧

AB

上有一點C．
（1）當C為圓弧 

AB

中點時，D為線段OA上任一點，求|

OC

+

OD

|的最小值．
（2）當C在圓弧

AB

上運動時，D、E分別為線段OA、OB的中點，求

CE

•

DE

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）以O為原點，以

OA

為x軸正方向，建立圖示坐標系，設D（t，0）（0≤t≤1），求出C坐標，推出

OC

+

OD

，求出|

OC

+

OD

|2的表達式，然后求出模的最小值．
（2）設

OC

=（cosα，sinα）（0≤α≤

3

2

π），求出

CE

•

DE

的表達式結合

π

4

≤α+

π

4

≤

7π

4

，求出

CE

•

DE

的取值范圍．

解答：解：（1）以O為原點，以

OA

為x軸正方向，建立圖示坐標系，
設D（t，0）（0≤t≤1），C（-

2

2

，

2

2

）…2′
∴

OC

+

OD

=（-

2

2

+t，

2

2

）
∴|

OC

+

OD

|2=

1

2

-

2

t+t2+

1

2

=1-

2

t+t2（0≤t≤1）…4′
當t=

2

2

時，最小值為

2

2

…6′
（2）設

OC

=（cosα，sinα）（0≤α≤

3

2

π）

CE

=

OE

-

OC

=（0，-

1

2

）-（cosα，sinα）
=（-cosα，-

1

2

-sinα）…8′
又∵D（

1

2

，0），E（0，-

1

2

）
∴

DE

=（-

1

2

，-

1

2

）…10′
∴

CE

•

DE

=

1

2

(cosα+

1

2

+sinα)=

2

2

sin(α+

π

4

) +

1

4

…12′
∵

π

4

≤α+

π

4

≤

7π

4

…13′
∴

CE

•

DE

∈[

1

4

-

2

2

，

1

4

+

2

2

]…14′

點評：本題考查向量的數量積，向量的表示方法，三角運算，考查轉化思想，計算能力．