Question

如圖，PA、PB、PC兩兩垂直，G是△PAB的重心，E是BC上的一點，且CE=

1

3

BC，F(xiàn)是PB上的一點，且PF=

1

3

PB
（1）求證：GE||平面PAC；
（2）求證：GF⊥平面PBC．

Answer 1

分析：（1）欲證GE||平面PAC，根據(jù)線面平行的判定定理可知只需在平面PAC中找一直線與GE平行即可，而連接 BG和PG，并延長分別交PA、AB于M和D，連接FE，根據(jù)重心的性質可知在△BMC中GE||MC，GE?平面PAC，MC?平面PAC，滿足定理所需條件；
（2）根據(jù)PA、PB、PC兩兩垂直，則PA⊥平面PBC，而根據(jù)重心的性質可知GF∥PA，最后根據(jù)平行線的性質可得結論．

解答：證明：（1）連接 BG和PG，并延長分別交PA、AB于M和D，連接FE
在△PAB中，∵G是△PAB的重心，∴MG=

1

3

MB，
又CE=

1

3

CB，所以在△BMC中GE||MC，GE?平面PAC，MC?平面PAC∴GE||平面PAC
（2）在△PAB中，∵G是△PAB的重心，
∴MG=

1

3

MB，∵PF=

1

3

PB，∴GF∥PM
又PA、PB、PC兩兩垂直，∴PA⊥平面PBC，
則GF⊥平面PBC

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及直線與平面平行的判定，同時考查了推理論證的能力，屬于中檔題．