Question

函數(shù)f（x）=kx³-3（k+1）x²-k²+1（k＞0），的單調(diào)減區(qū)間是（0，4），則實數(shù)k=

 

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：先求導(dǎo)函數(shù)f'（x），令f'（x）＜0，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間，而f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，4），它們是同一區(qū)間，建立等式關(guān)系，即可求出k的值

解答： 解：f'（x）=3kx²-6（k+1）x=0（k＞0），
解得：x=0或

2k+2

k

，
而

2k+2

k

＞2
令f'（x）=3kx²-6（k+1）x＜0，解得x∈（0，

2k+2

k

）
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，

2k+2

k

）
根據(jù)題意可知（0，4）=（0，

2k+2

k

），
即

2k+2

k

=4，解得k=1，
故答案為：1．

點評：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減，同時考查了分析與解決問題的綜合能力，屬于基礎(chǔ)題．