Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=x⁴+ax³+2x²+b（x∈R），其中a，b∈R．
（1）當(dāng)a=-$\frac{10}{3}$時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）僅在x=0處有極值，求a的取值范圍；
（3）若對(duì)于任意的a∈[-2，2]，不等式f（x）≤1在[-1，0]上恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出滿(mǎn)足條件的a的范圍即可；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到b≤a-2在a∈[-2，2]上恒成立．所以 b≤-2-2，求出b的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=4x³+3ax²+4x=x（4x²+3ax+4）．
當(dāng)a=-$\frac{10}{3}$時(shí)，f′（x）=x（4x²-10x+4）=2x（2x-1）（x-2）．
令f′（x）=0，得x₁=0，x₂=$\frac{1}{2}$，x₃=2．
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如表：

x	（-∞， 0）	0	（0，$\frac{1}{2}$）	$\frac{1}{2}$	（$\frac{1}{2}$，2）	2	（2， +∞）
f′（x）	-	0	+	0	-	0	+
f（x）	?↘	極小值	?↗	極大值	?↘	極小值	?↗

所以f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）和（2，+∞）上是增函數(shù)，在（-∞，0）和（$\frac{1}{2}$，2）上是減函數(shù)．
（2）f′（x）=x（4x²+3ax+4），顯然x=0不是方程4x²+3ax+4=0的根．
由于f（x）僅在x=0處有極值，則方程4x²+3ax+4=0有兩個(gè)相等的實(shí)根或無(wú)實(shí)根，△=9a²-64≤0，
解此不等式，得-$\frac{8}{3}$≤a≤$\frac{8}{3}$．這時(shí)，f（0）=b是唯一極值．
因此滿(mǎn)足條件的a的取值范圍是$[{-\frac{8}{3}，\frac{8}{3}}]$．
（3）由（2）知，當(dāng)a∈[-2，2]時(shí)，4x²+3ax+4＞0恒成立．
所以 當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在區(qū)間（-∞，0]上是減函數(shù)．
因此函數(shù)f（x）在[-1，0]上的最大值是f（-1）．
又因?yàn)閷?duì)任意的a∈[-2，2]，不等式f（x）≤1在[-1，0]上恒成立，
所以 f（-1）≤1，即3-a+b≤1．
于是b≤a-2在a∈[-2，2]上恒成立．所以 b≤-2-2，
即b≤-4．因此滿(mǎn)足條件的b的取值范圍是（-∞，-4]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．