Question

18．心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)視覺(jué)和空間能力與性別有關(guān)，某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)（男30女20），給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題，讓各位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答．選題情況如下表：（單位：人）

	幾何題	代數(shù)題	總計(jì)
男同學(xué)	22	8	30
女同學(xué)	8	12	20
總計(jì)	30	20	50

（1）能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認(rèn)為視覺(jué)和空間能力與性別有關(guān)？
（2）經(jīng)過(guò)多次測(cè)試后，甲每次解答一道幾何題所用的時(shí)間在5-7分鐘，乙每次解答一道幾何題所用的時(shí)間在6-8分鐘，現(xiàn)甲、乙同時(shí)各解同一道幾何題，求乙比甲先解答完的概率；
（3）現(xiàn)從選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人對(duì)她們的答題情況進(jìn)行全程研究，求甲、乙兩名女生至少有一人被選中的概率．
附表及公式：

P（k2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

${k^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給的列聯(lián)表得到求觀測(cè)值所用的數(shù)據(jù)，把數(shù)據(jù)代入觀測(cè)值公式中，做出觀測(cè)值，同所給的臨界值表進(jìn)行比較，得到所求的值所處的位置，得到結(jié)論；
（2）利用面積比，求出乙比甲先解答完的概率；
（3）從選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人對(duì)她們的答題情況進(jìn)行全程研究，有${C}_{8}^{2}$=28種結(jié)果，沒(méi)有甲、乙兩名女生，有${C}_{6}^{2}$=15種結(jié)果，即可求出甲、乙兩名女生至少有一人被選中的概率．

解答 解：（1）由表中數(shù)據(jù)得k²的觀測(cè)值k²=$\frac{50×（22×12-8×8）^{2}}{30×20×30×20}$≈5.556＞5.024，
∴有97.5%的把握認(rèn)為視覺(jué)和空間能力與性別有關(guān)；
（2）甲、乙解答一道幾何題的時(shí)間分別為x、y分鐘，則基本事件滿(mǎn)足的區(qū)域?yàn)?\left\{\begin{array}{l}{5≤x≤7}\\{6≤y≤8}\end{array}\right.$（如圖所示）

設(shè)事件A為“乙比甲先做完此道題”則滿(mǎn)足的區(qū)域?yàn)閤＞y，
∴由幾何概型P（A）=$\frac{\frac{1}{2}×1×1}{2×2}$=$\frac{1}{8}$，即乙比甲先解答完的概率為$\frac{1}{8}$；
（3）從選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人對(duì)她們的答題情況進(jìn)行全程研究，有${C}_{8}^{2}$=28種結(jié)果，沒(méi)有甲、乙兩名女生，有${C}_{6}^{2}$=15種結(jié)果，
∴甲、乙兩名女生至少有一人被選中的概率為$\frac{13}{28}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的計(jì)算、獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查根據(jù)列聯(lián)表做出觀測(cè)值，根據(jù)所給的臨界值表進(jìn)行比較，本題是一個(gè)綜合題．