Question

已知函數(shù)f（x）=2a•4^x-2^x-1
（1）當(dāng)a=1時(shí)，解不等式f（x）＞0；
（2）當(dāng)a=

1

2

，x∈[0，2]時(shí)，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）將a=1代入，求出函數(shù)的解析式，將2^x看作一個(gè)整體，根據(jù)二次不等式的解法，求出2^x的范圍，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得答案．
（2）將a=

1

2

代入，求出函數(shù)的解析式，利用換元法，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問(wèn)題，求出函數(shù)最值后，得到函數(shù)的值域．

解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=2•4^x-2^x-1
∴f（x）＞0，即2•（2^x）²-2^x-1＞0
解得2^x＞1，或2^x＜-

1

2

（舍去）
∴x＞0
即不等式f（x）＞0的解集為（0，+∞）
（2）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，f（x）=4^x-2^x-1
設(shè)t=2^x，由x∈[0，2]得t∈[1，4]
此時(shí)，y=t²-t-1，t∈[1，4]
∵y=t²-t-1的圖象是開口朝上，且以t=

1

2

為對(duì)稱軸的拋物線
∴y=t²-t-1在區(qū)間[1，4]上為增函數(shù)
∴當(dāng)t=1時(shí)，函數(shù)取最小值-1，當(dāng)t=4時(shí)，函數(shù)取最大值11，
故f（x）的值域?yàn)閇-1，11]

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是指數(shù)不等式的解法，函數(shù)的值域，是指數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)，不等式，函數(shù)值域的綜合應(yīng)用，難度不大，整體思想和換元法是解答此類問(wèn)題常用的思想和方法．