Question

6．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，cos$\frac{A}{2}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=3．
（1）求△ABC的面積S．
（2）若b+c=6，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角形面積計(jì)算公式即可得出．
（2）利用余弦定理即可得出．

解答 解：（1）在△ABC中，∵cos$\frac{A}{2}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，∴cosA=2×$（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}$-1=$\frac{3}{5}$，A∈（0，π），∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{4}{5}$．
又$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=3，∴bc×$\frac{3}{5}$=3，解得bc=5．
∴S=$\frac{1}{2}×5×\frac{4}{5}$=2．
（2）∵b+c=6，bc=5，
∴a²=（b+c）²-2bc-2bc×cosA=6²-2×5-2×5×$\frac{3}{5}$=20，
解得a=2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角形面積計(jì)算公式、余弦定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．