Question

12．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，A，B是橢圓的左、右頂點(diǎn)，P是橢圓上不同于A，B的一點(diǎn)，直線PA，PB斜傾角分別為α，β，則|tanα-tanβ|的最小值為1．

Answer 1

分析 利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)可得：k_PA•k_PB=-$\frac{b^2}{a^2}$，即tanαtanβ=-$\frac{b^2}{a^2}$=-$\frac{1}{4}$，由|tanα-tanβ|=|tanα|+|tanβ|，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵離心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$，
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$．
設(shè)P（x₀，y₀），橢圓頂點(diǎn)A（-a，0），B（a，0），k_PA=$\frac{y_0}{{x{\;}_0+a}}，{k_{PB}}=\frac{y_0}{{{x_0}-a}}$，
k_PA•k_PB=$\frac{y_0}{{x{\;}_0+a}}•\frac{y_0}{{{x_0}-a}}=\frac{{{y_0}^2}}{{{x_0}^2-{a^2}}}$，
又$\frac{{{x_0}^2}}{a^2}+\frac{{{y_0}^2}}{b^2}$=1，∴${y_0}^2={b^2}（1-\frac{{{x_0}^2}}{a^2}）=\frac{b^2}{a^2}（{a^2}-{x_0}^2）$，
∴k_PA•k_PB=-$\frac{b^2}{a^2}$，
即tanαtanβ=-$\frac{b^2}{a^2}$=-$\frac{1}{4}$，
∴|tanα-tanβ|=|tanα|+|tanβ|≥2$\sqrt{|tanβ||tanβ|}$=1．當(dāng)且僅當(dāng)|tanα|=|tanβ|=1時取等號．
∴|tanα-tanβ|的最小值為1，
故答案為：1．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．