Question

6．在直角坐標(biāo)系xOy中，圓x²+y²=4上一點(diǎn)P（x₀，y₀）（x₀y₀＞0）處的切線l分別交x軸、y軸于點(diǎn)A，B，以A，B為頂點(diǎn)且以O(shè)為中心的橢圓記作C，直線OP交C于M，N兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，1），求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）證明|MN|＜4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用直線的斜率公式，可得直線l的方程，求得A，B的坐標(biāo)，可得橢圓的方程，運(yùn)用離心率公式可得；
（Ⅱ）直線OP的斜率為k，依題意有k＞0且k≠1，直線OP的方程為y=kx，直線l的方程為$y-{y_0}=-\frac{1}{k}（{x-{x_0}}）$，求得A，B的坐標(biāo)，橢圓方程，代入直線y=kx，求得M，N的坐標(biāo)，可得|OM|，運(yùn)用基本不等式，即可得到結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）k_OP=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，可得k₁=-$\sqrt{3}$，直線l的方程為y-1=-$\sqrt{3}$（x-$\sqrt{3}$），
令x=0，得y=4，令y=0，得x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，可得A（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，0）B（0，4）．
即有橢圓C的方程為$\frac{3{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，
離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-（\frac{a}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
（Ⅱ）證明：直線OP的斜率為k，依題意有k＞0且k≠1，
直線OP的方程為y=kx，直線l的方程為$y-{y_0}=-\frac{1}{k}（{x-{x_0}}）$，
令x=0，得$y=\frac{x_0}{k}+{y_0}$，令y=0，得x=ky₀+x₀，
可得$A（{k{y_0}+{x_0}，0}），B（{0，\frac{x_0}{k}+{y_0}}）$，
橢圓C的方程$\frac{x^2}{{{{（{k{y_0}+{x_0}}）}^2}}}+\frac{y^2}{{{{（{\frac{x_0}{k}+{y_0}}）}^2}}}=1$，
聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{x^2}{{{{（{k{y_0}+{x_0}}）}^2}}}+\frac{y^2}{{{{（{\frac{x_0}{k}+{y_0}}）}^2}}}=1}\end{array}}\right.$，
解出$x=±\frac{1}{{\sqrt{\frac{1}{{{{（{k{y_0}+{x_0}}）}^2}}}+\frac{k^2}{{{{（{\frac{x_0}{k}+{y_0}}）}^2}}}=1}}}=±\frac{{{x_0}+k{y_0}}}{{\sqrt{1+{k^4}}}}$，
可得$M（{\frac{{{x_0}+k{y_0}}}{{\sqrt{1+{k^4}}}}，k\frac{{{x_0}+k{y_0}}}{{\sqrt{1+{k^4}}}}}）$，$N（{-\frac{{{x_0}+k{y_0}}}{{\sqrt{1+{k^4}}}}，-k\frac{{{x_0}+k{y_0}}}{{\sqrt{1+{k^4}}}}}）$，
即有${|{OM}|^2}=\frac{{{{（{{x_0}+k{y_0}}）}^2}}}{{1+{k^4}}}+{k^2}\frac{{{{（{{x_0}+k{y_0}}）}^2}}}{{1+{k^4}}}=\frac{{1+{k^2}}}{{1+{k^4}}}{（{{x_0}+k{y_0}}）^2}$
=$\frac{{1+{{（{\frac{y_0}{x_0}}）}^2}}}{{1+{{（{\frac{y_0}{x_0}}）}^4}}}{（{{x_0}+\frac{y_0}{x_0}{y_0}}）^2}=\frac{{\frac{x_0^2+y_0^2}{x_0^2}}}{{\frac{x_0^4+y_0^4}{x_0^4}}}{（{\frac{x_0^2+y_0^2}{x_0}}）^2}=\frac{{4{{（{x_0^2+y_0^2}）}^2}}}{x_0^4+y_0^4}$
=$4（{\frac{x_0^4+2x_0^2y_0^2+y_0^4}{x_0^4+y_0^4}}）=4（{1+\frac{2x_0^2y_0^2}{x_0^4+y_0^4}}）=4（{1+\frac{2}{{{{（{\frac{x_0}{y_0}}）}^2}+{{（{\frac{y_0}{x_0}}）}^2}}}}）$
=4（1+$\frac{2}{{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}}$）＜4（1+$\frac{2}{2}$）=8，
可得|OM|＜2$\sqrt{2}$，
即有|MN|=2|OM|＜4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程及運(yùn)用，以及離心率公式，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，解方程求交點(diǎn)，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于難題．