已知長方形的四個頂點A(0,0)、B(2,0)、C(2,1)和D(0,1),一質(zhì)點從AB的中點P0沿與AB夾角為θ的方向射到BC上的點P1后,依次反射到CD、DA和AB上的點P2、P3和P4(入射角等于反射角).設(shè)P4的坐標為(x4,0).若1<x4<2,求tanθ的取值范圍.
分析:本題可以畫出圖形,由∠P1P0B=θ,利用對稱性得到角的關(guān)系∠P1P2C=∠P3P2D=∠AP4P3=θ,然后利用三角函數(shù)來解答,可以設(shè)P1B=x,得到這些角的三角函數(shù)值關(guān)于x的關(guān)系式,再由P4的坐標為(x4,0)以及1<x4<2,可解得tanθ的取值范圍.
解答:解:設(shè)P
1B=x,
∠P
1P
0B=θ,則CP
1=1-x,
∠P
1P
2C、∠P
3P
2D、∠AP
4P
3均為θ,∴tanθ=
=x.
又tanθ=
=
=x,
∴CP
2=
=
-1.
而tanθ=
=
=
=x,
∴DP
3=x(3-
)=3x-1.
又tanθ=
=
=
=x,
∴AP
4=
=
-3.
依題設(shè)1<AP
4<2,即1<
-3<2,
∴4<
<5,
>
>
.
∴
>tanθ>
.
點評:本題考查三角函數(shù)的概念以及利用三角函數(shù)解答相關(guān)問題的能力,軸對稱圖形的應用,對解不等式及不等式思想的考查等內(nèi)容.