Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+ax-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作曲線y=f（x）的切線，證明：切線有且僅有一條，且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)恒為1．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）a=1時(shí)，f（x）=x²+ax-lnx（x＞0），f′(x)=2x+1-

1

x

=

(2x-1)(x+1)

x

，根據(jù)函數(shù)的定義域，確定f′（x）＞0和f′（x）＞0的范圍，進(jìn)而得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，則f'（x）≤0對(duì)任意x∈（0，1]恒成立，進(jìn)而a≤

1

x

-2x對(duì)任意x∈（0，1]恒成立，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題后，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)法求出切線斜率（切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值），進(jìn)而利用點(diǎn)斜式方程結(jié)合切線過(guò)原點(diǎn)求出切線方程，通過(guò)證明t=1是方程t²+lnt-1=0的唯一的解，可得結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）a=1時(shí)，f（x）=x²+ax-lnx（x＞0），
∴f′(x)=2x+1-

1

x

=

(2x-1)(x+1)

x

，
又∵x∈(0 ， 

1

2

) ， f′(x)＜0 ， x∈(

1

2

 ， +∞) ， f′(x)＞0，
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(0 ， 

1

2

)，單調(diào)遞增區(qū)間為(

1

2

 ， +∞)．

（Ⅱ）∵f′(x)=2x+a-

1

x

又∵f（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，
∴f′（x）≤0對(duì)任意x∈（0，1]恒成立，
即2x+a-

1

x

≤0對(duì)任意x∈（0，1]恒成立，
∴a≤

1

x

-2x對(duì)任意x∈（0，1]恒成立，
令g(x)=

1

x

-2x，
∴a≤g（x）_min，
易知g（x）在（0，1]單調(diào)遞減，
∴g（x）_min=g（1）=-1．
∴a≤-1．

（Ⅲ）設(shè)切點(diǎn)為M（t，f（t）），f′(x)=2x+a-

1

x

，
∴過(guò)M點(diǎn)的切線方程為：y-f（t）=f′（t）（x-t），
即 y-(t2+at-lnt)=(2t+a-

1

t

)(x-t)
又切線過(guò)原點(diǎn)，所以，0-(t2+at-lnt)=(2t+a-

1

t

)(0-t)，
即t²+lnt-1=0，
顯然t=1是方程t²+lnt-1=0的解，
設(shè)φ（t）=t²+lnt-1，
則φ′（t）=2t+

1

t

＞0恒成立，φ（t）在（0，+∞）單調(diào)遞增，且φ（1）=0，
∴方程t²+lnt-1=0有唯一解1．
∴過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作曲線y=f（x）的切線，切線有且僅有一條，且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)恒為1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，是導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔．