Question

【題目】已知過點A（﹣4，0）的動直線l與拋物線C：x2=2py（p＞0）相交于B、C兩點．
（1）當l的斜率是時， ，求拋物線C的方程；
（2）設BC的中垂線在y軸上的截距為b，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設B（x1，y1），C（x2，y2），由已知k1= 時，l方程為y= （x+4）即x=2y﹣4．

由 得2y2﹣（8+p）y+8=0

∴ ②

又∵ ，∴y2=4y1③

由①②③及p＞0得：y1=1，y2=4，p=2，即拋物線方程為：x2=4y

（2）解：設l：y=k（x+4），BC中點坐標為（x0，y0）

由 得：x2﹣4kx﹣16k=0④

∴ ．

∴BC的中垂線方程為

∴BC的中垂線在y軸上的截距為：b=2k2+4k+2=2（k+1）2

對于方程④由△=16k2+64k＞0得：k＞0或k＜﹣4．

∴b∈（2，+∞）

【解析】（1）先求得直線l的方程，再根據(jù)直線與拋物線的位置關系及求得點B，C的坐標，從而求得拋物線C的方程；（2）設出直線l的方程，利用直線與拋物線的關系表示出BC中點的坐標，則可以表示出BC中垂線的方程，進而表示出BC的中垂線在y軸上的截距，結合直線l的特征求得其截距的取值范圍.