Question

6．如圖：已知，在△OBC中，點(diǎn)A是BC的中點(diǎn)，$\overrightarrow{OD}$=2$\overrightarrow{DB}$，DC和OA交于點(diǎn)E，則△OEC與△OBC的面積的比值是（　�。�

• A． $\frac{4}{5}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{3}{8}$

Answer 1

分析 由條件即可得出$\overrightarrow{OA}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$，而O，E，A三點(diǎn)共線(xiàn)即可得到$\overrightarrow{OE}=λ\overrightarrow{OA}$，根據(jù)$\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{DB}$便可得到$\overrightarrow{OB}=\frac{3}{2}\overrightarrow{OD}$，這樣即可得出$\overrightarrow{OE}=\frac{3λ}{4}\overrightarrow{OD}+\frac{λ}{2}\overrightarrow{OC}$，從而由C，E，D三點(diǎn)共線(xiàn)便可得出$\frac{3λ}{4}+\frac{λ}{2}=1$，可求出$λ=\frac{4}{5}$，這樣由三角形的面積公式即可得出△OEC與△OBC的面積的比值．

解答 解：點(diǎn)A為BC的中點(diǎn)；
∴$\overrightarrow{OA}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$；
又O，E，A三點(diǎn)共線(xiàn)；
∴設(shè)$\overrightarrow{OE}=λ\overrightarrow{OA}=\frac{λ}{2}（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$；
∵$\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{DB}$；
∴$\overrightarrow{OB}=\frac{3}{2}\overrightarrow{OD}$；
∴$\overrightarrow{OE}=\frac{3λ}{4}\overrightarrow{OD}+\frac{λ}{2}\overrightarrow{OC}$；
又C，E，D三點(diǎn)共線(xiàn)；
∴$\frac{3λ}{4}+\frac{λ}{2}=1$；
∴$λ=\frac{4}{5}$；
∴$\overrightarrow{OE}=\frac{4}{5}\overrightarrow{OA}$；
∴${S}_{△OEC}=\frac{4}{5}{S}_{△OAC}$=$\frac{4}{5}•\frac{1}{2}{S}_{△OBC}=\frac{2}{5}{S}_{△OBC}$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 考查向量加法的平行四邊形法則，共線(xiàn)向量基本定理，向量的數(shù)乘運(yùn)算，以及向量數(shù)乘的幾何意義，三點(diǎn)A，B，C共線(xiàn)的充要條件：$\overrightarrow{OB}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OC}$，且λ+μ=1，以及三角形的面積公式，相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比例關(guān)系．