Question

10．已知$\overrightarrow m=（\sqrt{3}，2sinx），\overrightarrow n=（{sin^2}x-{cos^2}x，cosx）$，函數(shù)$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$．
（1）求f（x）的最小正周期、對(duì)稱軸和對(duì)稱中心；
（2）設(shè)$x∈[-\frac{π}{3}，\;\frac{π}{3}]$，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用向量的數(shù)量積公式、輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，即可求f（x）的最小正周期、對(duì)稱軸和對(duì)稱中心；
（2）設(shè)$x∈[-\frac{π}{3}，\;\frac{π}{3}]$，由$-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{3}$得$-\frac{π}{12}≤x≤\frac{π}{3}$，即可求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（1）$f（x）=-\sqrt{3}（{cos^2}x-{sin^2}x）+2sinx•cosx$=$-\sqrt{3}cos2x+sin2x=2sin（2x-\frac{π}{3}）$----------（2分）
∴f（x）的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π----------（3分）
由$2x-\frac{π}{3}=kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$得，$x=\frac{1}{2}kπ+\frac{5}{12}π（k∈Z）$，
∴f（x）的對(duì)稱軸為$x=\frac{1}{2}kπ+\frac{5}{12}π（k∈Z）$----------（5分）
由$2x-\frac{π}{3}=kπ（k∈Z）$，得$x=\frac{1}{2}kπ+\frac{π}{6}（k∈Z）$，
∴f（x）的對(duì)稱中心為$（{\frac{1}{2}kπ+\frac{π}{6}，0}）（k∈Z）$----------（7分）
（2）∵$-\frac{π}{3}≤x≤\frac{π}{3}$，∴$-π≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{3}$，
由$-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{3}$得$-\frac{π}{12}≤x≤\frac{π}{3}$，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[{-\frac{π}{12}，\frac{π}{3}}]$-----------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查學(xué)生化簡(jiǎn)能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確化簡(jiǎn)是關(guān)鍵．