Question

將邊長(zhǎng)為2，銳角為60°的菱形ABCD沿較短對(duì)角線BD折成四面體ABCD點(diǎn)E、F分別為AC、BD的中點(diǎn)，則下列命題中正確的是

②③④⑤

．（將正確的命題序號(hào)全填上）
①EF∥AB     ②EF⊥AC       ③EF⊥BD     ④當(dāng)四面體ABCD的體積最大時(shí)，AC=

6

  ⑤AC垂直于截面BDE．

Answer 1

分析：畫出圖形，利用翻折前后直線和平面的位置關(guān)系，根據(jù)空間直線和平面的位置關(guān)系進(jìn)行判斷．

解答：解：①如圖：由題意得，EF與AB是異面直線，∴①不正確．
②∵CF=AF，E為AC中點(diǎn)，∴EF⊥AC，∴②正確．
③由等腰三角形的中線性質(zhì)得 CF⊥BD，AF⊥BD，
∴DB⊥面ACF，
又EF?面ACF，∴EF⊥BD，∴③正確．
④當(dāng)四面體ABCD的體積最大時(shí)，∵等邊△ABD的面積為定值，
∴只要四面體ABCD的高最大即可．
即當(dāng)面CBD⊥面ABD，CF為四面體的高，
此時(shí)CF⊥AF．
且CF=AF=

3

．
∴AC=

CF2+AF2

=

3+3

=

6

，∴④正確．
⑤由DB⊥面ACF得，DB⊥AC，又EF⊥AC，∴AC⊥面EBD，故⑤正確．
故答案為：②③④⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間直線和平面位置關(guān)系的判斷，注意要和變換之前的菱形進(jìn)行對(duì)比，確定量的變化情況．