Question

已知函數(shù)f（x）=mx³-x的圖象上以（1，n）為切點(diǎn)的切線的傾斜角為

π

4

．
（1）求m，n的值；并求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）是否存在最小整數(shù)k；使得不等式f（x）≤k-1995對于區(qū)間[-1，3]恒成立？若存在，請求出最小整數(shù)k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)f（x）=mx³-x的圖象上以（1，n）為切點(diǎn)的切線的傾斜角為

π

4

．由此條件建立兩個(gè)方程求求m，n的值；
（2）是否存在最小整數(shù)k；使得不等式f（x）≤k-1995對于區(qū)間[-1，3]恒成立可以轉(zhuǎn)化為求f（x）+1995在區(qū)間[-1，3]的最值問題．求出函數(shù)f（x）+1995在區(qū)間[-1，3]的最大值，再由此判斷出參數(shù)k的最小值即可．

解答：解：由已知f′（x）=3mx²-1，則

f′(x)=3m-1=tan π 4 =1 f(1)=m-1=n

，得

m= 2 3 n=- 1 3

，
∴f′（x）=2x²-1．當(dāng)f′（x）＞0，即2x²-1＞0，得當(dāng)x＞

2?

2

或x＜-

2?

2

時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，故當(dāng)-

2

2

＜x＜

2

2

時(shí)，f（x）單調(diào)遞減．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是(-∞，-

2?

2

)，(

2?

2

，+∞)，減區(qū)間是(-

2?

2

，

2?

2

)
（2）設(shè)存在最小整數(shù)k，使得f（x）≤k-1995，在區(qū)間[-1，3]恒成立，則?x∈[-1，.3]，有

2

3

x3-x+1995≤k恒成立，
令g(x)=

2

3

x3-x+1995，只須g（x）_max≤k，
此時(shí)g′（x）=2x²-1，
由（1）知函數(shù)g（x）在區(qū)間[-1，-

2?

2

)單調(diào)遞增，在(-

2?

2

，

2?

2

)單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=-

2

2

時(shí)，g（x）取得極大值；
g(-

2

2

)=

2

3

+1995，又g(-1)=

1

3

+1995，g(3)=15+1995
∴函數(shù)在[-1，3]的最大值為g（3）=2010
∴使得不等式f（x）≤k-1995對于區(qū)間[-1，3]恒成立最小正整數(shù)k=2010

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值與最小值問題中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，判斷出函數(shù)的最值，本題第二小題是一個(gè)恒成立的問題，恒成立的問題一般轉(zhuǎn)化最值問題來求解，本題即轉(zhuǎn)化為用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的問題，求出最值再判斷出參數(shù)的取值．