Question

【題目】已知直線(xiàn)是曲線(xiàn)的切線(xiàn).

（1）求函數(shù)的解析式，

（2）若，證明:對(duì)于任意，有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，并設(shè)切點(diǎn)，利用點(diǎn)既在曲線(xiàn)上、又在切線(xiàn)上，列出方程組，解得，即可得答案；

（2）當(dāng)x充分小時(shí)，當(dāng)x充分大時(shí)，可得至少有一個(gè)零點(diǎn). 再證明零點(diǎn)的唯一性，即對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，對(duì)分和兩種情況討論，即可得答案.

（1）根據(jù)題意，，設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切于點(diǎn).

根據(jù)題意，可得，解之得，

所以.

（2）由（1）可知，

則當(dāng)x充分小時(shí)，當(dāng)x充分大時(shí)，∴至少有一個(gè)零點(diǎn).

∵，

①若，則，在上單調(diào)遞增，∴有唯一零點(diǎn).

②若令，得有兩個(gè)極值點(diǎn)，

∵，∴，∴.

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

∴極大值為.，又，

∴在(0，16)上單調(diào)遞增，

∴，

∴有唯一零點(diǎn).

綜上可知，對(duì)于任意，有且僅有一個(gè)零點(diǎn).