Question

5．已知拋物線C：y²=4x的焦點為F，過F的直線l與拋物線C交于A、B兩點（A在x軸上方），且$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FB}$，則|$\overrightarrow{AF}$|=（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 3$\sqrt{2}$
• D． 3$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 作出拋物線的準(zhǔn)線，設(shè)A、B在l上的射影分別是C、D，連接AC、BD，過B作BE⊥AC于E．由拋物線的定義結(jié)合題中的數(shù)據(jù)，可算出Rt△ABE中，cos∠BAE=$\frac{1}{2}$，得∠BAE=60°，即直線AB的傾斜角為60°，從而得到直線AB的斜率k值、直線的方程，再與拋物線聯(lián)立，即可得出結(jié)論．

解答 解：作出拋物線的準(zhǔn)線l：x=-1，設(shè)A、B在l上的射影分別是C、D，
連接AC、BD，過B作BE⊥AC于E
∵$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FB}$，∴設(shè)|$\overrightarrow{FB}$|=m，則|$\overrightarrow{AF}$|=3m，
由點A、B分別在拋物線上，結(jié)合拋物線的定義，得
|$\overrightarrow{DB}$|=|$\overrightarrow{FB}$|=m，|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{AF}$|=3m，
∴|$\overline{AE}$|=2m
因此，Rt△ABE中，cos∠BAE=$\frac{1}{2}$，得∠BAE=60°
所以，直線AB的傾斜角∠AFx=60°，
得直線AB的斜率k=tan60°=$\sqrt{3}$．
直線AB的方程為y=$\sqrt{3}$（x-1），代入y²=4x，可得3x²-10x+3=0，
∴x=3或x=$\frac{1}{3}$，
∵A在x軸上方，
∴|$\overrightarrow{AF}$|=4，
故選：A．

點評 本題給出拋物線的焦點弦被焦點分成3：1的比，求|$\overrightarrow{AF}$|，著重考查了拋物線的定義和簡單幾何性質(zhì)，直線的斜率等知識點，屬于中檔題．