Question

6．已知θ是銳角，且tanθ=$\sqrt{2}-1$，數(shù)列${a_{n+1}}=2{a_n}tan2θ+sin（2θ+\frac{π}{4}）-1$，數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）tanθ=$\sqrt{2}-1$，利用倍角公式可得：2θ=$\frac{π}{4}$，可得$sin（2θ+\frac{π}{4}）$，由于數(shù)列${a_{n+1}}=2{a_n}tan2θ+sin（2θ+\frac{π}{4}）-1$=2a_n，可得a_n．
（2）利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）∵tanθ=$\sqrt{2}-1$，
∴$tan2θ=\frac{2tanθ}{{1-{{tan}^2}θ}}=1，θ$為銳角，
解得2θ=$\frac{π}{4}$，
∴$sin（2θ+\frac{π}{4}）$=$sin\frac{π}{2}$=1，
∴數(shù)列${a_{n+1}}=2{a_n}tan2θ+sin（2θ+\frac{π}{4}）-1$=2a_n，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)a₁=1，公比為2．
∴a_n=2^n-1．
（2）na_n=n•2^n-1．
∴數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和S_n=1+2×2+3×2²+…+n•2^n-1，
2S_n=2+2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
∴-S_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-n•2ⁿ=（1-n）•2ⁿ-1，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)求值、“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．