Question

20．某工廠生產(chǎn)某種黑色水筆，每百支水筆的成本為30元，并且每百支水筆的加工費(fèi)為m元（其中m為常數(shù)，且3≤m≤6）．設(shè)該工廠黑色水筆的出廠價(jià)為x元/百支（35≤x≤40），根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，日銷售量與e^x成反比例，當(dāng)每百支水筆的出廠價(jià)為40元時(shí)，日銷售量為10萬支．
（1）當(dāng)每百支水筆的日售價(jià)為多少元時(shí)，該工廠的利潤(rùn)y最大，并求y的最大值．
（2）已知工廠日利潤(rùn)達(dá)到1000元才能保證工廠的盈利．若該工廠在出廠價(jià)規(guī)定的范圍內(nèi)，總能盈利，則每百支水筆的加工費(fèi)m最多為多少元？（精確到0.1元）

Answer 1

分析 （1）由條件“日銷售量與e^x（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）成反比例”可設(shè)日銷量，根據(jù)日利潤(rùn)y=每件的利潤(rùn)×件數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系式，注意實(shí)際問題自變量的范圍．對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，求出極值點(diǎn)，利用3≤m≤6，可得函數(shù)在35≤x≤40范圍內(nèi)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最值；
（2）由題意35≤x≤40，$\frac{1000{e}^{40}}{{e}^{x}}$（x-30-m）≥1000恒成立，x=35時(shí)，e⁵（5-m）≥1，m≤5-e^-5，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)日銷量為s，則s=$\frac{k}{{e}^{x}}$
∵x=40，s=1000，∴1000=$\frac{k}{{e}^{40}}$，∴k=1000e⁴⁰，∴s=$\frac{1000{e}^{40}}{{e}^{x}}$
∴y=$\frac{1000{e}^{40}}{{e}^{x}}$（x-30-m）（35≤x≤40）；
y′=$\frac{1000{e}^{40}}{{e}^{x}}$（31+m-x），令y′=0，可得x=31+m
3≤m≤6，34≤31+m≤37
當(dāng)35≤x≤m+31時(shí)，y′＞0
當(dāng)m+31≤x≤40時(shí)，y′＜0
故x=31+m時(shí)，y_max=1000e^9-m．
（2）由題意35≤x≤40，$\frac{1000{e}^{40}}{{e}^{x}}$（x-30-m）≥1000恒成立，
∴x=35時(shí)，e⁵（5-m）≥1，∴m≤5-e^-5，
∴每百支水筆的加工費(fèi)m最多為5.0元

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù)，屬于中檔題．