Question

1．已知0＜k＜2，cosα+kcosβ+（2-k）cosγ=0，sinα+ksinβ+（2-k）sinγ=0，求cos（β-γ）的最大值與最小值．

Answer 1

分析 由已知條件，得到cos（β-γ）=1+$\frac{3}{2[（k-1）^{2}-1]}$，根據(jù)余弦函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值．

解答 解：cosα+kcosβ+（2-k）cosγ=0，①
sinα+ksinβ+（2-k）sinγ=0，②）
將①②中含有α的項(xiàng)移到右邊，得到：kcosβ+（2-k）cosγ=-cosα，③
ksinβ+（2-k）sinγ=-sinα ④，
③④兩邊分別平方，再左右分別相加（目的是消去α），得到：k²+（2-k）²+2k（2-k）（cosβcosγ+sinβsinγ）=1，
∴2k²-4k+4+2k（2-k）cos（β-γ）=1，
∴cos（β-γ）=$\frac{2{k}^{2}-4k+3}{2{k}^{2}-4k}$=1+$\frac{3}{2{k}^{2}-4k}$=1+$\frac{3}{2[（k-1）^{2}-1]}$，
又0＜k＜2
當(dāng)k=1時(shí)，（k-1）²-1最小，此時(shí)cos（β-γ）最大，cos（β-γ）=-0.5
任意角的余弦最小為-1，當(dāng)cos（β-γ）=-1，即1+$\frac{3}{2{k}^{2}-4k}$=-1，此時(shí)k=$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$，
綜上，cos（β-γ）最大值為-0.5，最小值為-1

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，以及余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．