Question

設正整數(shù)數(shù)列8，a₂，a₃，a₄是等比數(shù)列，其公比q不是整數(shù)，且q＞1，則這個數(shù)列中a₄可取到的最小值為

27

．

Answer 1

分析：由題意可設r=

n

m

為既約分數(shù)，由r為大于1的非整數(shù)，則2≤m＜n，進而可得a₄=a₁×（

n

m

）³為整數(shù)，a₁=k×m³，k∈N^*．，通過分析a₄取最小值時的條件可得答案．

解答：解：由題a₁，a₂，a₃，a₄為正整數(shù)，可設公比r=

n

m

為既約分數(shù)，
∵r為大于1的非整數(shù)，則2≤m＜n，
又∵a₄=a₁×（

n

m

）³為正整數(shù)，∴a₁=k×m³，k∈N^*．
∴a₄=k×n³≥1×3³=27，取k=1，n=3時，a_4min=27，
此時a₁=8，a₂=12，a₃=18，a₄=27．
故答案為：27

點評：本題考查等比數(shù)列的項的求解，解題的關鍵是要分析a₄取最小值時的條件，屬中檔題．