Question

20．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S_n-2a_n-n=0（n∈N⁺），則數(shù)列{a_n-1}的通項(xiàng)公式為-2ⁿ．

Answer 1

分析 通過S_n-2a_n-n=0（n∈N⁺）與S_n-1-2a_n-1-n+1=0（n≥2）作差、變形可知a_n-1=2（a_n-1-1），進(jìn)而計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵S_n-2a_n-n=0（n∈N⁺），
∴S_n-1-2a_n-1-n+1=0（n≥2），
兩式相減得：a_n=2a_n-1-1，
變形可得：a_n-1=2（a_n-1-1），
又∵a₁=2a₁+1，即a₁-1=-1-2=-2，
∴數(shù)列{a_n-1}是首項(xiàng)為-2、公比為2的等比數(shù)列，
∴數(shù)列{a_n-1}=-2•2^n-1=-2ⁿ，
故答案為：-2ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，構(gòu)造數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．