Question

（本小題滿分14分）
已知函數(shù)，．
（Ⅰ）求函數(shù)的極值；
（Ⅱ）判斷函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個數(shù)，并給予證明；
（Ⅲ）閱讀右邊的程序框圖，請結(jié)合試題背景簡要描述其算法功能，并求出執(zhí)行框圖所表達(dá)的算法后輸出的值．

Answer 1

(1) 當(dāng)時，取得極小值，無極大值
(2) 函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點(diǎn).,根據(jù)構(gòu)造函數(shù)思想，利用端點(diǎn)值函數(shù)值異號判定。
(3) 輸出的值為4

試題分析：解：（Ⅰ）∵，，……………1分
當(dāng)時，；當(dāng)時，.……………3分
當(dāng)時，取得極小值，無極大值.……………4分
（Ⅱ）函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點(diǎn).    ……………5分
證明如下：
∵，
，
，
函數(shù)在區(qū)間上必定存在零點(diǎn).      ………6分
∵，當(dāng)時，，
在區(qū)間上單調(diào)遞增，             8分
∴函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)最多一個.    ……9分
綜上知：函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)．
（Ⅲ）程序框圖的算法功能：找出最小的正整數(shù),使的零點(diǎn)滿足.               …10分
∵，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，.   ……11分
又在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，；當(dāng)時，.………13分
輸出的值為4． …………………………………14分
點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、零點(diǎn)、算法初步等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想。