Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-cos²ωx+$\frac{3}{2}$（ω∈R）的最小正周期為π，且圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{6}$對稱．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=f（-x））+a（0$≤x≤\frac{π}{2}$）有且只有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若x₁，x₂是（2）中函數(shù)g（x）的兩個不同零點，求證：x₁+x₂=$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式及變形，兩角差的正弦公式化簡解析式，由三角函數(shù)的周期公式、正弦函數(shù)的對稱軸分別列出方程，求出ω的值可得f（x）的解析式；
（2）由（1）化簡g（x），由x的范圍2x-$\frac{π}{6}$的范圍，由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出$sin（2x-\frac{π}{6}）$的范圍，將
g（x）的零點問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題，由條件和正弦函數(shù)的圖象列出不等式，求出實數(shù)a的取值范圍；
（3）由（2）和正弦函數(shù)的對稱性證明出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意得，f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-cos²ωx+$\frac{3}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx-\frac{1}{2}（1+cos2ωx）+\frac{3}{2}$=$sin（2ωx-\frac{π}{6}）+1$，
∵f（x）的最小正周期為π，∴$\frac{2π}{2|ω|}=π$，則ω=±1，
∵圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{6}$對稱，
∴$2ω×\frac{π}{6}-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）$，得ω=2+3k（k∈Z），即ω=-1，
∴f（x）=$sin（-2x-\frac{π}{6}）+1$=$-sin（2x+\frac{π}{6}）+1$；
（2）由（1）得，g（x）=f（-x）+a=$sin（2x-\frac{π}{6}）+1+a$，
∵0$≤x≤\frac{π}{2}$，∴$-\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，則$-\frac{1}{2}≤sin（2x-\frac{π}{6}）≤1$，
∵函數(shù)g（x）=f（-x）+a（0$≤x≤\frac{π}{2}$）有且只有一個零點，
∴y=$sin（2x-\frac{π}{6}）$和y=-1-a的圖象有且僅有一個交點，
∴$-\frac{1}{2}≤-1-a＜\frac{1}{2}$或-1-a=1，
解得$-\frac{3}{2}＜a≤-\frac{1}{2}$或a=-2，
∴實數(shù)a的取值范圍是{a|a=-2或$-\frac{3}{2}＜a≤-\frac{1}{2}$}；
證明：（3）∵x₁，x₂是函數(shù)g（x）的兩個不同零點，
∴由（2）得，$2{x}_{1}-\frac{π}{6}$與$2{x}_{2}-\frac{π}{6}$關(guān)于直線x=$\frac{π}{2}$對稱，
∴$2{x}_{1}-\frac{π}{6}$+（$2{x}_{2}-\frac{π}{6}$）=$2×\frac{π}{2}$，
化簡得x₁+x₂=$\frac{2π}{3}$．

點評 本題考查了二倍角公式及變形、兩角差的正弦公式，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，以及函數(shù)零點的轉(zhuǎn)化，考查整體思想，轉(zhuǎn)化思想，化簡、變形能力．