Question

若函數(shù)f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，且在[0，+∞）為增函數(shù)，則不等式f（lgt）+f（lgt^-1）≥2f（1）的解集為

 

．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用函數(shù)為偶函數(shù)得f（lgt^-1）=f（-lgt）=f（lgt），則不等式f（lgt）+f（lgt^-1）≥2f（1）等價于2f（lgt））≥2f（1），即f（lgt））≥f（1），
然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)解不等式即可．

解答： 解：∵f（x）為偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x），且f（|x|）=f（x），
∵f（lgt^-1）=f（-lgt）=f（lgt），
∴不等式f（lgt）+f（lgt^-1）≥2f（1）等價于2f（lgt））≥2f（1），∴f（lgt））≥f（1），
∴f（|lgt|）≥f（1），
∵函數(shù)f（x）在[0，+∞）為增函數(shù)，
∴|lgt|＞1，
即lgt＞1或lgt＜-1，
解得t＞10或0＜t＜

1

10

，
即不等式的解集為（0，

1

10

）∪（10，+∞）
故答案為：（0，

1

10

）∪（10，+∞）．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，利用函數(shù)是偶函數(shù)，將不等式進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．