Question

13．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，過F₂的直線與該雙曲線的右支交于A、B兩點(diǎn)，若△ABF₁的周長(zhǎng)為30，則點(diǎn)F₁與以AB為直徑的圓的位置關(guān)系為（　�。�

• A． 在圓外
• B． 在圓上
• C． 在圓內(nèi)
• D． 無法確定

Answer 1

分析 求得雙曲線的a，b，c，設(shè)|AF₂|=m，|BF₂|=n，運(yùn)用雙曲線的定義求得|AF₁|，|BF₁|，由題意可得|AB|=11，考慮雙曲線的垂直于x軸的弦的長(zhǎng)度，比較AB的中點(diǎn)與點(diǎn)F₁的距離與AB的一半的大小關(guān)系，即可得到結(jié)論．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的a=2，b=3，c=$\sqrt{13}$，
設(shè)|AF₂|=m，|BF₂|=n，
由雙曲線的定義可得|AF₁|=2a+m=4+m，|BF₁|=2a+n=4+n，
由題意可得△ABF₁的周長(zhǎng)為|AF₁|+|AF₂|+|BF₁|+|BF₂|=30，
即有8+2（m+n）=30，即為m+n=11，即|AB|=11，
又x=c=$\sqrt{13}$，解得y=±3$\sqrt{\frac{13}{4}-1}$=±$\frac{9}{2}$，
即有過F₂垂直于x軸的弦長(zhǎng)為9，
則F₁到AB的中點(diǎn)的距離d＞2c=2$\sqrt{13}$＞$\frac{11}{2}$，
可得點(diǎn)F₁與以AB為直徑的圓的位置關(guān)系為在圓外．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查定義法的運(yùn)用和點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．