分析:根據(jù)題意,得點(diǎn)P是△ABC的垂心,從而
•
=0,將
•
化簡(jiǎn)為
•
=8,結(jié)合∠B=60°算出
•
和三角形ABC的面積.利用余弦定理,算出當(dāng)且僅當(dāng)
=
=4時(shí),
有最小值為4,結(jié)合三角形面積為4
,可得AC上的高h(yuǎn)的最大值為2
.
解答:
解:∵O為△ABC的外心,
=
+
+
,
∴點(diǎn)P是△ABC的垂心,即P是三條高線的交點(diǎn)
∴
•
=(
+
)
=8
∵
•
=0,∴
•
=8
∵∠B=60°,∴
•
cos60°=8,得
•
=16
根據(jù)正弦定理的面積公式,得S
△ABC=
•
sin60°=4
∵
=
+
-2
•
cos60°=
+
-16
+
≥2
•
=32
∴
≥16,得當(dāng)且僅當(dāng)
=
=4時(shí),
有最小值為4
∵S
△ABC=
•h=4
,h是邊AC上的高
∴h≤
=2
,當(dāng)且僅當(dāng)
=
=
=4時(shí),邊AC上的高h(yuǎn)的最大值為2
故答案為:2
點(diǎn)評(píng):本題在△ABC中,已知一個(gè)角和兩邊長(zhǎng)度之積,求另一邊上高的最大值,著重考查了三角形外心與垂直的聯(lián)系、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)和正余弦定理等知識(shí),屬于中檔題.