Question

已知數(shù)列a₁，a₂，…a₃₀，其中a₁，a₂，…a₁₀，是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列；列a₁₀，a₁₁，…a₂₀，是公差為d的等差數(shù)列；a₂₀，a₂₁，…a₃₀，是公差為d²的等差數(shù)列（d≠0）．
（1）若a₂₀=40，求d；
（2）試寫出a₃₀關(guān)于d的關(guān)系式，并求a₃₀的取值范圍；
（3）續(xù)寫已知數(shù)列，使得a₃₀，a₃₁，…a₄₀，是公差為d³的等差數(shù)列，…，依此類推，把已知數(shù)列推廣為無(wú)窮數(shù)列．提出同（2）類似的問(wèn)題（（2）應(yīng)當(dāng)作為特例），并進(jìn)行研究，你能得到什么樣的結(jié)論？

Answer 1

解：（1）a₁₀=1+9=10．a(chǎn)₂₀=10+10d=40，∴d=3．
（2）a₃₀=a₂₀+10d²=10（1+d+d²）（d≠0），
a₃₀=10，
當(dāng)d∈（-∞，0）∪（0，+∞）時(shí)，a₃₀∈[7.5，+∞）
（3）所給數(shù)列可推廣為無(wú)窮數(shù)列{a_n]，
其中a₁，a₂，…，a₁₀是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
當(dāng)n≥1時(shí)，數(shù)列a_10n，a_10n+1，…，a_10（n+1）是公差為dⁿ的等差數(shù)列．
研究的問(wèn)題可以是：試寫出a_10（n+1）關(guān)于d的關(guān)系式，并求a_10（n+1）的取值范圍．
研究的結(jié)論可以是：由a₄₀=a₃₀+10d³=10（1+d+d²+d³），
依此類推可得a_10（n+1）=10（1+d+…+dⁿ）=．
當(dāng)d＞0時(shí)，a_10（n+1）的取值范圍為（10，+∞）等．
分析：（1）根據(jù)原等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差求出a₁₀，根據(jù)a₂₀的值，由a₁₀，a₁₁，…a₂₀，是公差為d的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)于d的方程，求出方程的解即可得到d的值；（2）由a₂₀，a₂₁，…a₃₀，是公差為d²的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)表示出a₃₀是關(guān)于d的二次函數(shù)，根據(jù)d不等于0，利用二次函數(shù)即可求出a₃₀的取值范圍；（3）根據(jù)題意歸納出：當(dāng)n≥1時(shí)，數(shù)列a_10n，a_10n+1，…，a_10（n+1）是公差為dⁿ的等差數(shù)列，可以續(xù)寫已知數(shù)列，并利用類似（2）中的方法歸納出a_10（n+1）的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題，會(huì)根據(jù)特例總結(jié)歸納出一般性的規(guī)律，是一道中檔題．