Question

已知向量

a

=（sinx，cos²x-

1

2

），

b

=（cosx，-

3

），其中x∈R，函數(shù)f（x）=5

a

•

b

-3
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）確定函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（3）函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=5sin2x的圖象經(jīng)過怎樣的變化而得到？

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,數(shù)量積的坐標表達式

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質,平面向量及應用

分析：（1）先化簡求f（x）的解析式，根據(jù)周期公式可求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）由三角函數(shù)的圖象與性質可求得函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（3）先左移

π

6

個單位，再向下平移3個單位可得到函數(shù)y=5sin2x的圖象．

解答： 解：f(x)=5

a

•

b

-3=5sinxcosx+5(cos2x-

1

2

)•(-

3

)-3
=5sinxcosx-5

3

cos2x+

5 3

2

-3=

5

2

sin2x-5

3

•

1+cos2x

2

+

5 3

2

-3
=

5

2

sin2x-

5 3

2

cos2x-3=5sin(2x-

π

3

)-3…（4分）
（1）由周期公式可求得：T=

2π

2

=π…（6分）
（2）令2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，（k∈Z），從而可解得函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間：[kπ-

π

12

，kπ+

5

12

π](k∈z)
令2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，（k∈Z），從而可解得函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間：[kπ+

5

12

π，kπ+

11

12

π](k∈z)…（10分）
（3）先左移

π

6

個單位可得到函數(shù)y=5sin[2（x+

π

6

）-

π

3

]-3的圖象，再向下平移3個單位可得到函數(shù)y=5sin[2（x+

π

6

）-

π

3

]=5sin2x的圖象   …（12分）

點評：本題主要考察了三角函數(shù)的圖象與性質，平面向量及應用，屬于基本知識的考查．