Question

19．已知（$\frac{1}{x}$+y）（x+$\frac{a}{y}$）⁵的展開式中$\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}$的系數(shù)為20a，其中a≠0，則a的值為-2或1．

Answer 1

分析 把（x+$\frac{a}{y}$）⁵ 按照二項式定理展開，可得已知（$\frac{1}{x}$+y）（x+$\frac{a}{y}$）⁵的展開式中$\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}$的系數(shù)，再根據(jù)中$\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}$的系數(shù)為20a，求得a的值．

解答 解：（$\frac{1}{x}$+y）（a+$\frac{a}{y}$）⁵=（$\frac{1}{x}$+y）（${C}_{5}^{0}$•x⁵+${C}_{5}^{1}$•x⁴•$\frac{a}{y}$+${C}_{5}^{2}$•x³•${（\frac{a}{y}）}^{2}$+${C}_{5}^{3}$•x²•${（\frac{a}{y}）}^{3}$+${C}_{5}^{4}$•ax${（\frac{a}{y}）}^{4}$+${C}_{5}^{5}$•${（\frac{a}{y}）}^{5}$），
 故（$\frac{1}{x}$+y）（a+$\frac{a}{y}$）⁵的展開式中$\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}$的系數(shù)為${C}_{5}^{2}$•a²+${C}_{5}^{3}$•a³=20a，
即a²+a-2=0，求得a=-2或a=1，
故答案為：-2或1．

點評 本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．